[Analisi Matematica 2] Limite di funzione a due variabili

[Angela201]

Buon pomeriggio...mi servirebbe un aiutino per risolvere il limite :
$ lim (x,y)->(0,0) (x^2 -y)/((x^2 -y^2)^(1/2)) $
Potreste suggerirmi qualche metodo di risoluzione? Grazie in anticipo

[Plepp]

"stormy":
tra l'altro perseveri nel tuo errore
la tua definizione è sbagliata : non ti vuole entrare in testa che la funzione nel punto di accumulazione può anche non esistere
il concetto di limite è indipendente dall'esistenza o meno della funzione nel punto di accumulazione
prova a negare anche questo ANALFABETA MATEMATICO

Uh, questo edit me l'ero perso; ottimo, rientriamo nel tema del thread.

"stormy":$ lim_((x,y) -> (x_0,y_0))f(x,y)=l $ equivale a dire che $ forallepsilon>0, existsI(x_0,y_0):forall(x,y) in I-{(x_0,y_0)},|f(x,y)-l| quindi nella definizione è implicito che la funzione debba esistere in tutto $I$ tranne al più $(x_0,y_0)$

Questo lo assume il libro, o tu. Non è assolutamente necessario.

"Plepp":Quella definizione vale se $f$ è definita in un intorno bucato di $(x_0,y_0)$, altrimenti è falsa.

Se almeno in un intorno bucato del punto (ovvero, in un intorno di $(x_0,y_0)$ privato di $(x_0,y_0)$ stesso) $f$ è definita, la tua definizione va bene così com'è.

Come vedi, non ho detto niente che facesse lontanamente pensare al contrario di ciò che ho sottolineato nella prima citazione, parole che tu mi hai attribuito.

[ot]

mi ero già accorto che la mia presenza dava molto fastidio a voi padroni del forum

Ammesso - e per niente concesso - che esistano dei cosiddetti padroni del forum, non sono uno di loro. Non immagino cosa t'abbia fatto pensare il contrario. Buonanotte bello.[/ot]

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Lo spettacolo è finito.
Faccio i miei complimenti a tutti quanti per essere riusciti a litigare su argomenti in cui torto e ragione sono dimostrabili.

Chiudo.[/xdom]

[gugo82]

Tanto per mettere le cose in chiaro...

La definizione di limite riportata da stormy:

"stormy":$ lim_((x,y) -> (x_0,y_0))f(x,y)=l $ equivale a dire che $ forallepsilon>0, existsI(x_0,y_0):forall(x,y) in I-{(x_0,y_0)},|f(x,y)-l|
è in generale sbagliata, così come lo sono anche le considerazioni posteriori:

"stormy":quindi nella definizione è implicito che la funzione debba esistere in tutto $I$ tranne al più $(x_0,y_0)$
nell'esercizio posto dalla gentile amica ,per ogni intorno dell'origine esistono infiniti punti in cui la funzione non esiste
e con questo la questione è chiusa

Ricordo, infatti, a tutti che la definizione corretta di limite per funzioni di \(N\) variabili è la seguente:

Siano \(f:\operatorname{Dom} f\to \mathbb{R}\) una funzione definita su \(\operatorname{Dom} f\subseteq \mathbb{R}^N\) non vuoto ed \(\mathbf{x}_0\in \mathbb{R}^N\) un p.d.a. per \(\operatorname{Dom} f\).
Si dice che un numero \(l\in \mathbb{R}\) è il limite di \(f\) per \(\mathbf{x}\) che tende ad \(\mathbf{x}_0\) e si scrive:
\[
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0} f(\mathbf{x})=l
\]
se e solo se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0: \forall \mathbf{x} \in B(\mathbf{x}_0;\delta) \cap \operatorname{Dom f}\setminus \{\mathbf{x}_0\},\ \left| f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)\right|<\varepsilon
\]
(in cui \(B(\mathbf{x}_0;\delta)\) è la palla aperta di centro \(\mathbf{x}_0\) e raggio \(\delta\)) o, equivalentemente, se:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:\ \forall \mathbf{x}\in \operatorname{Dom} f,\quad 0<|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|<\delta\ \Rightarrow\ \left| f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)\right|<\varepsilon\; .
\]

Non è difficile constatare, come già fatto da Plepp (che su queste cose ci ha meditato per parecchio tempo, se ben ricordo), che la definizione riportata da stormy è un caso particolarissimo di quella generale appena scritta: infatti, la definizione di stormy diviene quella "giusta" non appena il dominio \(\operatorname{Dom} f\) contenga almeno un intorno forato di \(\mathbf{x}_0\), i.e. una palla aperta di centro \(\mathbf{x}_0\) privata del punto \(\mathbf{x}_0\); tuttavia, torno a notarlo esplicitamente, in tutti gli altri casi essa è clamorosamente sbagliata.


[xdom="gugo82"]Per il resto, ha già detto Raptorista.

Invito stormy al riflettere sul proprio comportamento: è vero che sbagliare così clamorosamente una definizione elementare come quella di limite può far saltare i nervi; tuttavia, ciò non giustifica quanto egli ha scritto dopo che l'errore gli è stato fatto notare.
In ambito scientifico, le uniche cose da fare dopo che qualcuno ha notato un errore sono: 1) comprendere ciò che è stato fatto notare (chiedendo chiarimenti in merito alle osservazioni mosse), 2) correggere l'errore se è possibile ed eventualmente 3) chiedere scusa per l'errore commesso e ringraziare chi ha fatto notare l'errore.
In ogni caso, cominciare ad insultare chi ha fatto notare un errore è un comportamento gravissimo che difficilmente, anzi quasi mai, viene perdonato.[/xdom]