[Analisi Matematica 1] Limite parametrizzato Taylor-Laurin
Salve ragazzi, stavo svolgendo qualche esercizio di analisi 1, fino a che non mi sono imbattuto in questo:
$ lim_(x -> 0+) (cos(x) - cosh(x) + (tg (x))^a)/(e^(-x^2) - 2*cos(x) + 1) $
da studiare a seconda del variare del parametro a
per prima cosa ho pensato agli sviluppi di taylor-maclaurin, quindi:
$ cos(x) = 1 - x^2/(2!) + x^4/(4!) $ tenendo 2 termini al numeratore, 3 al denominatore)
$ cosh(x) = 1 + x^2/(2!) + x^4/(4!) $ (tenendo i primi due termini)
$ (tg(x))^a = (x + x^3/3)^a $ (tenendo solo il primo termine)
$ e^(-x^2)=1-x^2-x^4/2 $ (tenendo 3 termini)
quindi il mio limite dovrebbe diventare:
$ lim_(x -> 0+) ((1-x^2/(2!)-1-x^2/(2!))+x^a)/(1-x^2-x^4/2-2*(1-x^2/(2!)+x^4/(4!))+1) $
che ridotta teoricamente dovrebbe diventare:
$ lim_(x -> 0+)(-x^2 + x^a)/((-7*x^4)/12) $
e da qui studio il variare del limite al variare del parametro alpha.
guardando le risposte (son presenti solo i valori finali, non le soluzioni complete) noto che è sbagliato, e sono:
$ { ( +oo (per a leq 0) ),(+oo( per 0 < a < 2 )),( 8/5 (per a=2) ),(-oo (per a > 2)):} $
qualcuno sa darmi una mano??
grazie mille in anticipo!!
$ lim_(x -> 0+) (cos(x) - cosh(x) + (tg (x))^a)/(e^(-x^2) - 2*cos(x) + 1) $
da studiare a seconda del variare del parametro a
per prima cosa ho pensato agli sviluppi di taylor-maclaurin, quindi:
$ cos(x) = 1 - x^2/(2!) + x^4/(4!) $ tenendo 2 termini al numeratore, 3 al denominatore)
$ cosh(x) = 1 + x^2/(2!) + x^4/(4!) $ (tenendo i primi due termini)
$ (tg(x))^a = (x + x^3/3)^a $ (tenendo solo il primo termine)
$ e^(-x^2)=1-x^2-x^4/2 $ (tenendo 3 termini)
quindi il mio limite dovrebbe diventare:
$ lim_(x -> 0+) ((1-x^2/(2!)-1-x^2/(2!))+x^a)/(1-x^2-x^4/2-2*(1-x^2/(2!)+x^4/(4!))+1) $
che ridotta teoricamente dovrebbe diventare:
$ lim_(x -> 0+)(-x^2 + x^a)/((-7*x^4)/12) $
e da qui studio il variare del limite al variare del parametro alpha.
guardando le risposte (son presenti solo i valori finali, non le soluzioni complete) noto che è sbagliato, e sono:
$ { ( +oo (per a leq 0) ),(+oo( per 0 < a < 2 )),( 8/5 (per a=2) ),(-oo (per a > 2)):} $
qualcuno sa darmi una mano??
grazie mille in anticipo!!
Risposte
Prova, per quanto riguarda la tangente, a non tener conto solo del primo termine...
ok ma quindi diventa una cosa tipo $ x^a + x^(3a)/3 $ giusto?
Per $a=2$ vedi subito che al numeratore devi tenere anche termini di ordine superiore a $2$; riscriviti a parte questo caso e vedi che succede.
Negli altri casi è corretto che il limite venga $\pm \infty$ (ma non ho controllato i segni).
Negli altri casi è corretto che il limite venga $\pm \infty$ (ma non ho controllato i segni).
"Rigel":
Per $a=2$ vedi subito che al numeratore devi tenere anche termini di ordine superiore a $2$; riscriviti a parte questo caso e vedi che succede.
Negli altri casi è corretto che il limite venga $\pm \infty$ (ma non ho controllato i segni).
il problema è che se tengo nel cos(x) e nel cosh(x) anche il terzo termine, quindi $x^4$, questi si semplificano a vicenda, mentre se vado fino a $x^6$ mi "rimangono" fino alla fine, e quindi mi ritrovo con il limite uguale a 0 !
con $a=2$ vien fuori un valore finito, ma comunque è sbagliato, mi vien fuori $-8/7$, ed ho dovuto tenere più termini sulla tangente, però comunque c'è qualcosa di sbagliato sul denominatore, perché il 7 vien fuori da di la...!
Mi sa che ti sei perso il quarto ordine nel quadrato dello sviluppo della tangente.
Guarda qui per controllo:
http://bit.ly/oPNcmw
Guarda qui per controllo:
http://bit.ly/oPNcmw
Eh sì, ha ragione Rigel. Per [tex]$a = 2$[/tex] c'è anche il doppio prodotto...
Il denominatore è $5/12 x^4 + o(x^4)$; hai sbagliato un segno nello sviluppo di $e^{-x^2}$.
infatti, ho notato d'aver sbagliato lo sviluppo di $e^(-x^2)$
lo sviluppo diventa $1-x^2+x^4/2$
lo sviluppo diventa $1-x^2+x^4/2$
però comunque ho un problema sul numeratore...! per fare l'analisi del limite, al variare di a, come tratto la tangente? in sto caso ho le soluzioni e vedo come si comporta con $a=2$ ma partendo da zero, come avrei dovuto fare?
grazie intanto per questa soluzione!
grazie intanto per questa soluzione!
riassumendo il tutto dovrebbe diventare:
$ lim_(x -> 0+) (-x^2 + (x + x^3/3)^a)/((5x^4)/12) $
dove quello sotto $a$ è lo sviluppo della tangente.
questo come lo studio?
$ lim_(x -> 0+) (-x^2 + (x + x^3/3)^a)/((5x^4)/12) $
dove quello sotto $a$ è lo sviluppo della tangente.
questo come lo studio?
Partendo da zero, butti giù un po' di termini dello sviluppo (magari tenendo anche gli "o-piccolo") e vedi quali sono i casi critici (in questo caso $a=2$).
A questo punto distingui i casi e, per non sbagliare, li "lavori" uno per volta.
Con un minimo di esperienza tutto questo ti verrà automatico.
Per la tangente, quando $x\to 0^+$:
1) se $a<0$ hai che $(\tan(x))^a\to +\infty$;
2) se $a=0$ vale $1$ per ogni $x>0$;
3) se $a>0$ hai che il primo termine utile è $x^a$.
L'unico caso che richiede ulteriore analisi è il terzo (nei primi due il limite complessivo si calcola subito perché non c'è indeterminazione).
Vedi che il numeratore è del tipo $x^a + o(x^a) -x^2$, e capisci subito che lo "spartiacque" si ha per $a=2$.
Tratti a questo punto, separatamente, i casi $02$.
A questo punto distingui i casi e, per non sbagliare, li "lavori" uno per volta.
Con un minimo di esperienza tutto questo ti verrà automatico.
Per la tangente, quando $x\to 0^+$:
1) se $a<0$ hai che $(\tan(x))^a\to +\infty$;
2) se $a=0$ vale $1$ per ogni $x>0$;
3) se $a>0$ hai che il primo termine utile è $x^a$.
L'unico caso che richiede ulteriore analisi è il terzo (nei primi due il limite complessivo si calcola subito perché non c'è indeterminazione).
Vedi che il numeratore è del tipo $x^a + o(x^a) -x^2$, e capisci subito che lo "spartiacque" si ha per $a=2$.
Tratti a questo punto, separatamente, i casi $0
un'ultima cosa però: perché per $a>2$ il limite va a $-oo$ ? non dovrebbe esser 0 dato che, ad esempio per $a=3$ il numeratore è uno zero più veloce del denominatore?
Scusate se intervengo, ma io farei un ragionamento più semplice: numeratore e denominatore sono equivalenti, rispettivamente, a
[tex]$N\sim -x^2+(\tan x)^\alpha,\qquad D\sim \frac{5x^4}{12}$[/tex]
Ora ragioniamo così: finché [tex]$\alpha\ge 2$[/tex] il numeratore è un infinitesimo di ordine $2$, dal momento che [tex]$(\tan x)^\alpha\sim x^\alpha$[/tex], mentre il denominatore è un infinitesimo di ordine $4$: pertanto il limite risulta pari a
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2}{5x^4/12}=\lim_{x\to 0^+} -\frac{12}{5x^2}=-\infty$[/tex].
Se invece [tex]$a< 0$[/tex] non hai una forma indeterminata, in quanto il numeratore risulta un infinito: in tal caso il limite è pari a
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{5x^4/12\cdot (\tan x)^{-\alpha}}=+\infty$[/tex].
Se [tex]$0\le\alpha<2$[/tex] il numeratore risulta infinitesimo di ordine [tex]$\alpha$[/tex] e pertanto
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{x^\alpha}{5x^4/12}=\lim_{x\to 0^+}\frac{12}{5x^{4-\alpha}}=+\infty$[/tex] (dal momento che [tex]$4-\alpha>0$[/tex]).
Infine, se [tex]$\alpha=2$[/tex], si ha [tex]$(\tan x)^2\sim\left(x+\frac{x^3}{3}\right)^2\sim x^2+\frac{2x^4}{3}$[/tex] e pertanto
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2+x^2+\frac{2x^4}{3}}{\frac{5x^4}{12}}=\frac{8}{5}$[/tex].
[tex]$N\sim -x^2+(\tan x)^\alpha,\qquad D\sim \frac{5x^4}{12}$[/tex]
Ora ragioniamo così: finché [tex]$\alpha\ge 2$[/tex] il numeratore è un infinitesimo di ordine $2$, dal momento che [tex]$(\tan x)^\alpha\sim x^\alpha$[/tex], mentre il denominatore è un infinitesimo di ordine $4$: pertanto il limite risulta pari a
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2}{5x^4/12}=\lim_{x\to 0^+} -\frac{12}{5x^2}=-\infty$[/tex].
Se invece [tex]$a< 0$[/tex] non hai una forma indeterminata, in quanto il numeratore risulta un infinito: in tal caso il limite è pari a
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{5x^4/12\cdot (\tan x)^{-\alpha}}=+\infty$[/tex].
Se [tex]$0\le\alpha<2$[/tex] il numeratore risulta infinitesimo di ordine [tex]$\alpha$[/tex] e pertanto
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{x^\alpha}{5x^4/12}=\lim_{x\to 0^+}\frac{12}{5x^{4-\alpha}}=+\infty$[/tex] (dal momento che [tex]$4-\alpha>0$[/tex]).
Infine, se [tex]$\alpha=2$[/tex], si ha [tex]$(\tan x)^2\sim\left(x+\frac{x^3}{3}\right)^2\sim x^2+\frac{2x^4}{3}$[/tex] e pertanto
[tex]$\lim_{x\to 0^+}\frac{-x^2+x^2+\frac{2x^4}{3}}{\frac{5x^4}{12}}=\frac{8}{5}$[/tex].
bon ok, capito!!! grazie mille!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo