[Analisi] Integrale singolo

[Holy1]

Ciao a tutti, abbiamo dei dubbi sulla risoluzione dell'integrale:

$ int_(0)^(1) sqrt(1+(2t)^2)dt $


Abbiamo un'idea della soluzione, dopo averlo svolto per sostituzione e aspettiamo qualche conferma

[gio73]

"Holy":Ciao a tutti, abbiamo dei dubbi sulla risoluzione dell'integrale:

$ int_(0)^(1) sqrt(1+(2t)^2)dt $


Abbiamo un'idea della soluzione, dopo averlo svolto per sostituzione e aspettiamo qualche conferma

Non abbiate timore di esporre la vostra idea (come è richiesto dal regolamento), nessuno vi rimprovererà nel caso non fosse la migliore.

[Holy1]

"gio73":[quote="Holy"]Ciao a tutti, abbiamo dei dubbi sulla risoluzione dell'integrale:

$ int_(0)^(1) sqrt(1+(2t)^2)dt $


Abbiamo un'idea della soluzione, dopo averlo svolto per sostituzione e aspettiamo qualche conferma

Non abbiate timore di esporre la vostra idea (come è richiesto dal regolamento), nessuno vi rimprovererà nel caso non fosse la migliore.[/quote]

Ciao ti ringrazio,

Poichè i due risultati su cui siamo dubbiosi potrebbero incitare ad una risoluzione sbagliata preferivamo inserirli solo dopo una conferma di uno o dell'altro spero non sia un idea 'stupida comunqe:

$ 1/4log(2+sqrt5)+1/2sqrt(5) $

[Nietzsche610]

Io proverei a porre $t=1/2sinh(u)$

[Holy1]

"Gabriele.Sciaguato":Io proverei a porre $t=1/2sinh(u)$

Confermo ho fatto cosi, il problema rimane il risultato

[Obidream]

Potreste provare per parti, in questo modo ( provo solo l'integrale indefinito per comodità):

$int sqrt(1+4t^2)dt=t*sqrt(1+4t^2)-int (4t^2)/sqrt(1+4t^2)dt$

$int sqrt(1+4t^2)dt=t*sqrt(1+4t^2)-int (4t^2+1-1)/sqrt(1+4t^2)dt$

$int sqrt(1+4t^2)dt=t*sqrt(1+4t^2)-[int sqrt(1+4t^2)dt-int 1/sqrt(1+4t^2)dt]$

Adesso ricordando che $int 1/sqrt(1+x^2)dt=text{sett} sinh x+c=log(x+sqrt(1+x^2))+c$, ottengo:

$2int sqrt(1+4t^2)dt=t*sqrt(1+4t^2)+1/2*log(2t+sqrt(1+4t^2))$

$int sqrt(1+4t^2)dt=1/2(t*sqrt(1+4t^2)+1/2*log(2t+sqrt(1+4t^2)))+c$

[Nietzsche610]

Con la posizione $t=1/2sinhu$ ottieni $dt=1/2coshudu$ e quindi:

$\intsqrt(1+(2t)^2)dt=1/2\intsqrt(cosh^2u)coshudu=1/2\intcosh^2udu$.

A questo punto potete integrare per parti ottenendo:

$1/2\intcosh^2udu=1/2sinhucoshu-1/2\intsinh^2udu=1/2sinhucoshu-1/2\int(cosh^2u-1)du$

$->\intsqrt(1+(2t)^2)dt=1/2\intcosh^2udu=1/4sinhucoshu+1/4u$.

Dalla relazione iniziale $t=1/2sinhu$ si ottiene $u=sinh^(-1)(2t)$, da cui gli estremi per $u$, $[sinh^(-1)(0),sinh^(-1)(2)]$.

L'integrale definito per la variabile $t$ diviene quindi su $u$:

$\int_{0}^1sqrt(1+(2t)^2)dt=[1/4sinhucoshu+1/4u]_{sinh^(-1)(0)}^(sinh^(-1)(2))$

Che fa $sqrt(5)/2+1/4ln(2+sqrt(5))$, quindi direi che il vostro risultato è corretto!