Analisi iniziale:domande su sommatorie
Salve... avrei 3 domande... per la prima non ci ho pensato molto... la seconda e la terza credo siano vere, ma vorrei l'opinione di qualche esperto 
:
consideriamo la funzione $g(x)=sum_(i=1)^(infty)f_i(x)$ con le $f_i$ continue su tutto R.
1) può essere il dominio di convergenza un chiuso a parte interna vuota e diverso da un punto? (forse se il dominio è R basta combinare due funzioni che convergano solo in un punto con continuità... forse la domanda è più impegnativa considerando il dominio complesso e modificando il "diverso da un punto" con "di modo che l'intervallo di convergenza sia un arco")
2) supponiamo che per $x_0$ ed un suo intervallo apetro la sommatoria converga $=>$ la funzione g è continua in quell'aperto;
3) supponiamo le $f_i(x)$ siano in realtà $f_i(x,h)$. Allora condizione NECESSARIA per cui
$lim_(h->0) g(x,h)$
esista ad $x$ fissato è che la successione al crescere di $i$ $lim_(h->0) f_i(x,h)$ abbia senso (ovvero che i limiti esistano) e che questa successione sia infinitesima...
Ringrazio per l'aiuto
:consideriamo la funzione $g(x)=sum_(i=1)^(infty)f_i(x)$ con le $f_i$ continue su tutto R.
1) può essere il dominio di convergenza un chiuso a parte interna vuota e diverso da un punto? (forse se il dominio è R basta combinare due funzioni che convergano solo in un punto con continuità... forse la domanda è più impegnativa considerando il dominio complesso e modificando il "diverso da un punto" con "di modo che l'intervallo di convergenza sia un arco")
2) supponiamo che per $x_0$ ed un suo intervallo apetro la sommatoria converga $=>$ la funzione g è continua in quell'aperto;
3) supponiamo le $f_i(x)$ siano in realtà $f_i(x,h)$. Allora condizione NECESSARIA per cui
$lim_(h->0) g(x,h)$
esista ad $x$ fissato è che la successione al crescere di $i$ $lim_(h->0) f_i(x,h)$ abbia senso (ovvero che i limiti esistano) e che questa successione sia infinitesima...
Ringrazio per l'aiuto
Risposte
dai, su!! my dear friends...
le domande due e tre nelle mie intenzioni dovrebbero essere facili... ma avrei bisogno di rassicurazioni
le domande due e tre nelle mie intenzioni dovrebbero essere facili... ma avrei bisogno di rassicurazioni
Per la 2) devi specificare che convergenza intendi.
"Thomas":
Salve... avrei 3 domande... per la prima non ci ho pensato molto... la seconda e la terza credo siano vere, ma vorrei l'opinione di qualche esperto
consideriamo la funzione $g(x)=sum_(i=1)^(infty)f_i(x)$ con le $f_i$ continue su tutto R.
1) può essere il dominio di convergenza un chiuso a parte interna vuota e diverso da un punto? (forse se il dominio è R basta combinare due funzioni che convergano solo in un punto con continuità... forse la domanda è più impegnativa considerando il dominio complesso e modificando il "diverso da un punto" con "di modo che l'intervallo di convergenza sia un arco")
Ringrazio per l'aiuto
vabbuò, mettiamoci al lavoro... ma piano piano, che è agosto, eh!
tanto, avere una serie o una successione non cambia niente, date le ipotesi
allora prendiamo una successione di funzioni fatte su $[0,1]$ come un triangolo (isoscele), che diventa sempre più appuntito al crescre di $n$.
queste convergono solo agli estremi
per passare ad $RR$ si "incollano" fianco a fianco funzioni analoghe
volendo, si può anche "strizzare" gli intervalli. Ad esempio, su $[1,2]$ possiamo mettere due picchi, su $[2,3]$ ne mettiamo tre, etc...
allora questa roba converge su un chiuso con infiniti punti e senza punti interni
per $CC$, non so niente. Mai visto un numero complesso in vita mia
ma, tanto, $CC$ c'entra come i cavoli a merenda. Si parla solo di continuità e quindi tutte quelle belle cose che piaccioni tanto a lupo grigio non contano nulla. Lavoro in $RR^2$
allora, rifacciamo una cosa simile
prendiamo l'origine e la circonferenza di centro l'origine e raggio 1 qui le mettiamo a zero
poi invece mettiamo i "picchi" sulla circonferenza di raggio $1/2$
e poi andiamo avanti (tutto sommato, ho solo fatto girare $RR$ come un ventilatore...)
ti torna?
"Luca.Lussardi":
Per la 2) devi specificare che convergenza intendi.
Già ho sparato la cazzata... l'affermazione così com'è è evidentemente falsa (non sto a cercare ma se non sono equicontinue mi pare difficile si possa affermare qualcosa di simile)...
mettiamoci pure l'equicontinuità (ma non l'uniforme, che non credo serva a molto)... ma mi pare che nemmeno questa basti, ci vogliono delle ipotesi più forti.
Per esempio supponiamo che le $f_i$ siano anche derivabili. Allora basterebbe per esempio che per ogni i ad x fissato $|f'_i(x)|<1/i^2$, right?. In sostanza si devono aggiungere ipotesi sulla velocità con cui le funzioni tendono al punto.... sbaglio???
@Fioravante Patrone: ok! buona costruzione!...
No, non mi sono spiegato; devi dire che convergenza intendi per la serie, o successione di funzioni che è lo stesso. Convergenza puntuale? (e allora non hai speranza che la 2) sia vera) convergenza uniforme? (allora la 2) è vera)...
"Luca.Lussardi":
No, non mi sono spiegato; devi dire che convergenza intendi per la serie, o successione di funzioni che è lo stesso. Convergenza puntuale? (e allora non hai speranza che la 2) sia vera) convergenza uniforme? (allora la 2) è vera)...
ah... ok... in ogni caso premetto che l'enunciato è "in evoluzione"... prima ho sparato una bella cavolata senza pensare bene che senza le opportune ipotesi la 2) è falsa e sono d'accordo...
inizialmente non avevo intenzione di aggiungere ipotesi sul tipo di convergenza, ma solo sulle funzioni...qualcosa tipo quella che ho postato sopra... ma ora forse mi rendo conto che la mia ipotesi sopra implica la convergenza uniforme (e quindi la continuità del limite)... Per dimostrare buona volontà (e per mia punizione
) cerco di dimostrarlo bene : (anche se è mi pare più facile dimostrare direttamente la continuità del limite);Th: consideriamo la funzione $g(x)=sum_(i=1)^(infty)f_i(x)$ con le $f_i$ continue su tutto R. Supponiamo che per $x_0$ ed un suo intervallo apetro $(a,b)$ la sommatoria converga puntualmente. Supponiamo inoltre che per ogni x e per ogni i valga $|f'_i(x)|<1/i^2$.
$=>$ la successione di funzioni $g_m(x)=sum_(i=1)^(m)f_i(x)$ convergono uniformemente nell'aperto.
dim: prendo un $x_0$ casuale. La convergenza puntuale dice che esiste un $m_0$ t.c.:
$|sum_(i=m)^(infty)f_i(x_0)|<\epsilon$ per ogni $m>=m_0$
inoltre per ogni $i$ e per ogni $x$ la derivabilità ci dice che:
$|f_i(x)-f_i(x_0)|<=(b-a)$sup$_(yin(a,b))|f'_i(y)|<=(b-a)/i^2$
da cui togliendo il modulo nell'ultima:
$f_i(x)<=f_i(x_0)+(b-a)/i^2$ [1]
$f_i(x)>=f_i(x_0)-(b-a)/i^2$ [2]
sommando la [1] da $m$ ad $infty$ si ha per ogni $x$:
$sum_(i=m)^(infty)f_i(x)<=sum_(i=m)^(infty)f_i(x_0)+sum_(i=m)^(infty)(b-a)/i^2
e scegliendo $m$ abba grande perchè la prima sommatoria sia minore di $epsilon/2$ e $m$ abbastanza grande perchè anche la seconda sommatoria sia minore di $epsilon/2$ (esiste perchè la somma dei reciproci dei quadrati converge)), si ottiene che per un certo $M$ (e per i numeri maggiore di M)
$sum_(i=M)^(infty)f_i(x)<=epsilon$
usando la [2] si ottiene anche il $>=-epsilon$.
c.v.d.
probabili errori??
in pratica se ho ben capito il mio problema equivale a: presa una successione di funzioni continue che converge puntualmente, trovare condizioni necessarie e sufficienti perchè il limite sia continuo... è risolubile???
ps: grazie per l'aiuto..
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