Analisi II,convergenza uniforme delle successioni di funzione

[guidocastiello00]

Salve vorrei avere un chiarimento riguardo la vonvergenza uniforme se io so,permettetimi di omettere la parte iniziale della definizione, che $|f(x)_k-f(x)|<\epsilon$ $AA x in I$, allora come posso passare dimostrando che la stessa cosa vale anche per il sup della quantità sopra scritta? spero di essere stato chiaro(p.s. non sono abituato a scrivole formule del genere su forum) grazie in anticipo.

[gugo82]

Semplice: prendi $epsilon/2$, in corrispondenza del quale riesci a determinare $nu $ in modo che $|f_k (x) - f(x)| < epsilon/2$ per ogni $k >nu $ ed ogni $x in I$; ne viene che $epsilon/2$ è un maggiorante della funzione $|f_k - f|$ e dunque $text(sup)_(x in I) | f_k(x) - f(x)| <= epsilon/2 < epsilon$ per ogni $k > nu$.