[Analisi II] Volumi di solidi, trovare estremi di integrazione?
ragazzi ho un piccolo problema riguardo un tipo di esercizio di analisi 2, ovvero il calcolo degli estremi di integrazione per il volume di solidi e figure geometriche. infatti non riesco a capire come si trovano tali estremi. per esempio nell'esercizio "volume dei punti interni alla sfera unitaria sovrastanti la falda di cono \(\displaystyle z=\sqrt{3x^2+3y^2} \).
Per quanto riguarda il mio metodo di risoluzione, come ho già detto, non so farlo, però ho comunque provato a ragionare,: infatti il problema mi chiede "punti (interni) della sfera unitaria sovrastanti la falda di cono..."
Questo vorrebbe dire che devo eguagliare le equazioni della sfera unitaria e della falda di cono ponendo i punti della sfera>punti della falda di cono, quindi ho provato a porre:
\(\displaystyle z=\sqrt{3x^2+3y^2} \) ed essendo la sfera unitaria \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=1 \) da cui \(\displaystyle z=\sqrt{-x^2-y^2+1} \) allora
\(\displaystyle \sqrt{3x^2+3y^2} \ < \sqrt{-x^2-y^2+1} \ \).
Di conseguenza quindi risolvo i calcoli ed esce fuori:
\(\displaystyle 4x^2+4y^2-1<0 \). a questo punto passo alle coordinate polari per trovare gli intervalli di integrazione:
\(\displaystyle \frac{-1}{2}< \rho <\frac{1}{2} \)
Quindi ho trovato gli estremi di integrazione di ro, mentre per tetha so che essendo una porzione di sfera unitaria (la porzione superiore) varia tra 0 e pi-greco.
infine risolvo l'integrale ponendo
\(\displaystyle \int_{0}^{\Pi }d\Theta \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\rho ^2 \) ed andando a risolvere non mi riescono i calcoli.
Tornando a noi quindi, come vi dicevo, penso di sbagliare qualcosa nella scelta degli estremi di integrazione ma non capisco cosa!
Per quanto riguarda il mio metodo di risoluzione, come ho già detto, non so farlo, però ho comunque provato a ragionare,: infatti il problema mi chiede "punti (interni) della sfera unitaria sovrastanti la falda di cono..."
Questo vorrebbe dire che devo eguagliare le equazioni della sfera unitaria e della falda di cono ponendo i punti della sfera>punti della falda di cono, quindi ho provato a porre:
\(\displaystyle z=\sqrt{3x^2+3y^2} \) ed essendo la sfera unitaria \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=1 \) da cui \(\displaystyle z=\sqrt{-x^2-y^2+1} \) allora
\(\displaystyle \sqrt{3x^2+3y^2} \ < \sqrt{-x^2-y^2+1} \ \).
Di conseguenza quindi risolvo i calcoli ed esce fuori:
\(\displaystyle 4x^2+4y^2-1<0 \). a questo punto passo alle coordinate polari per trovare gli intervalli di integrazione:
\(\displaystyle \frac{-1}{2}< \rho <\frac{1}{2} \)
Quindi ho trovato gli estremi di integrazione di ro, mentre per tetha so che essendo una porzione di sfera unitaria (la porzione superiore) varia tra 0 e pi-greco.
infine risolvo l'integrale ponendo
\(\displaystyle \int_{0}^{\Pi }d\Theta \int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\rho ^2 \) ed andando a risolvere non mi riescono i calcoli.
Tornando a noi quindi, come vi dicevo, penso di sbagliare qualcosa nella scelta degli estremi di integrazione ma non capisco cosa!
Risposte
Ti ringrazio della tua risposta, ho seguito il tuo ragionamento fino al punto in cui hai trovato i due insiemi, ovvero fin quì:
mentre mi sono perso subito dopo:
per quanto riguard quello che ho scritto in invece, ho capito di aver sbagliato l'impostazione degli estremi, in definitiva:
\(\displaystyle \ 0 < \rho <\frac{1}{2} \)
e tetha:
\(\displaystyle 0< \Theta <\ 2\Pi \)
Mi pare di aver capito di aver sbagliato anche ad impostare l'integrale. in questo caso però non saprei proprio che pesci prendere. da dove inizio?
L'esercizio chiede i punti interni della sfera, quindi devo porre un integrale triplo con l'equazione di una sfera?
\(\displaystyle \int \int \int x^2+y^2+z^2 dxdydz \)
ed una volta fatto questo (anche se non so se sia giusto o meno) devo passare alle coordinate polari cilindriche o sferiche?
Scusa per le tantissime domande ma voglio capire bene questo tipo di esercizi per avere un metodo - più o meno standard - di risolverli.
"TeM":
Alla luce di tale fatto, segue che \(\Omega := \Omega_1 \cup \, \Omega_2\), dove \[ \Omega_1 := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : \sqrt{3\left(x^2 + y^2\right)} \le z \le \frac{\sqrt{3}}{2} \right\} \; ; \\ \Omega_2 := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : \frac{\sqrt{3}}{2} \le z \le \sqrt{1 - \left(x^2 + y^2\right)} \right\} \; . \]
mentre mi sono perso subito dopo:
"TeM":
Ebbene, a questo punto o si impostano degli integrali tripli, oppure più semplicemente,
facendo riferimento alle formule della geometria elementare, segue che \[ |\Omega_1| = \frac{1}{3}\left(\pi\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\,, \; \; \; |\Omega_2| = \pi\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\cdot\left[ 1 - \frac{1}{3}\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right] \] e quindi, in definitiva, si ha \[ |\Omega| = |\Omega_1| + |\Omega_2| = \frac{2-\sqrt{3}}{3}\pi \; . \]
per quanto riguard quello che ho scritto in invece, ho capito di aver sbagliato l'impostazione degli estremi, in definitiva:
\(\displaystyle \ 0 < \rho <\frac{1}{2} \)
e tetha:
\(\displaystyle 0< \Theta <\ 2\Pi \)
Mi pare di aver capito di aver sbagliato anche ad impostare l'integrale. in questo caso però non saprei proprio che pesci prendere. da dove inizio?
L'esercizio chiede i punti interni della sfera, quindi devo porre un integrale triplo con l'equazione di una sfera?
\(\displaystyle \int \int \int x^2+y^2+z^2 dxdydz \)
ed una volta fatto questo (anche se non so se sia giusto o meno) devo passare alle coordinate polari cilindriche o sferiche?
Scusa per le tantissime domande ma voglio capire bene questo tipo di esercizi per avere un metodo - più o meno standard - di risolverli.
si, mi ero accorto che avevi calcolato i volumi tramite le formule subito dopo averti risposto, ma mi sono dimenticato di correggere il mio intervento (sorry!).
Ora capisco perfettamente cosa sbagliavo. un'ultima domanda che sicuramente sarà una banalità: quel \(\displaystyle \rho \) appena prima del \(\displaystyle d\rho \) rappresenta lo jacobiano associato alla trasformazione in coordinate cilindriche vero?
OT: mentre lo jacobiano associato a trasformazioni sferiche sarebbe \(\displaystyle \rho ^2sen\Theta \) giusto? e quello per la trasformazione in coordinate polari invece è semplicemente \(\displaystyle \rho \)?
Ora capisco perfettamente cosa sbagliavo. un'ultima domanda che sicuramente sarà una banalità: quel \(\displaystyle \rho \) appena prima del \(\displaystyle d\rho \) rappresenta lo jacobiano associato alla trasformazione in coordinate cilindriche vero?
OT: mentre lo jacobiano associato a trasformazioni sferiche sarebbe \(\displaystyle \rho ^2sen\Theta \) giusto? e quello per la trasformazione in coordinate polari invece è semplicemente \(\displaystyle \rho \)?
si giusto, ho sbagliato a scrivere. dalla geografia la cosiddetta fi (\(\displaystyle \varphi \)) mentre tetha sarebbe la latitudine...
Provo a riesumare la discussione perché a me l'esercizio continua a non tornare.
Il testo è analogo: calcolare il volume dei punti interni alla sfera unitaria e sovrastanti la falda di cono [tex]z=\sqrt{3x^2+3y^2}[/tex].
La soluzione allegata è [tex]\frac{\pi(16-7\sqrt{3})}{12}[/tex], che mi pare diversa da quella pubblicata.
Non mi risulta che il risultato dell'esercizio sia stato sconfessato dal professore, quindi l'ho preso per buono.
Per "insieme dei punti interni alla sfera unitaria e sovrastanti la falda di cono" ho inteso l'intersezione tra il cono che ha vertice in (0,0), asse coincidente con semiasse [tex]z>0[/tex] e la sfera che ha equazione [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex].
Ho provato a calcolare il volume sia per fili che in coordinate sferiche.
Per quanto riguarda i fili ho cercato per prima cosa gli estremi di ognuno di essi. Quello inferiore è determinato dall'equazione del cono, quindi [tex]z_{min}=\sqrt{3x^2+3y^2}[/tex], quello superiore è determinato dall'equazione della sfera, quindi [tex]z_{max}=\sqrt{1-x^2-y^2}[/tex].
Faccio l'integrazione in coordinate polari, quindi trasformo rispettivamente in [tex]z_{min}=\rho\sqrt{3}[/tex] e [tex]z_{max}=\sqrt{1-\rho^2}[/tex].
A questo punto calcolo gli intervalli di integrazione per [tex]\theta[/tex] e [tex]\rho[/tex].
Per il primo ho [tex]\theta\in[0,2\pi][/tex].
Per il secondo invece calcolo a quale quota [tex]z[/tex] le due equazioni si equivalgono. La quota è funzione di [tex]\rho[/tex] e quindi trovo il massimo valore che quest'ultimo può assumere. Intuitivamente si tratta del raggio della calotta data dall'intersezione dei due solidi.
[tex]\sqrt{1-\rho^2}=\rho\sqrt{3}[/tex]
[tex]1-\rho^2=3\rho^2[/tex]
[tex]4\rho^2=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\rho=\frac{1}{2}[/tex]
L'integrale quindi mi viene
[tex]\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{1}{2}} \rho\mathrm{d}\rho \int_{\rho\sqrt{3}}^{\sqrt{1-\rho^2}} \mathrm{d}z[/tex]
Il risultato è (salvo errori) [tex]\frac{\pi(2-\sqrt{3})}{3}[/tex] che non torna con quello del testo.
In coordinate polari ho invece pensato che [tex]\rho\in[0,1][/tex],[tex]\theta\in[0,2\pi][/tex] e [tex]\phi\in[\frac{2\pi}{3},\pi][/tex]. Salto i passaggi, l'integrale mi viene (potrei anche aver sbagliato) [tex]\frac{\pi}{3}[/tex], che getta ulteriore confusione nella mia testa.
A questo punto certezze ne ho più poche...
Qualcuno ha voglia di darmi una manina? Grazie!
Il testo è analogo: calcolare il volume dei punti interni alla sfera unitaria e sovrastanti la falda di cono [tex]z=\sqrt{3x^2+3y^2}[/tex].
La soluzione allegata è [tex]\frac{\pi(16-7\sqrt{3})}{12}[/tex], che mi pare diversa da quella pubblicata.
Non mi risulta che il risultato dell'esercizio sia stato sconfessato dal professore, quindi l'ho preso per buono.
Per "insieme dei punti interni alla sfera unitaria e sovrastanti la falda di cono" ho inteso l'intersezione tra il cono che ha vertice in (0,0), asse coincidente con semiasse [tex]z>0[/tex] e la sfera che ha equazione [tex]x^2+y^2+z^2=1[/tex].
Ho provato a calcolare il volume sia per fili che in coordinate sferiche.
Per quanto riguarda i fili ho cercato per prima cosa gli estremi di ognuno di essi. Quello inferiore è determinato dall'equazione del cono, quindi [tex]z_{min}=\sqrt{3x^2+3y^2}[/tex], quello superiore è determinato dall'equazione della sfera, quindi [tex]z_{max}=\sqrt{1-x^2-y^2}[/tex].
Faccio l'integrazione in coordinate polari, quindi trasformo rispettivamente in [tex]z_{min}=\rho\sqrt{3}[/tex] e [tex]z_{max}=\sqrt{1-\rho^2}[/tex].
A questo punto calcolo gli intervalli di integrazione per [tex]\theta[/tex] e [tex]\rho[/tex].
Per il primo ho [tex]\theta\in[0,2\pi][/tex].
Per il secondo invece calcolo a quale quota [tex]z[/tex] le due equazioni si equivalgono. La quota è funzione di [tex]\rho[/tex] e quindi trovo il massimo valore che quest'ultimo può assumere. Intuitivamente si tratta del raggio della calotta data dall'intersezione dei due solidi.
[tex]\sqrt{1-\rho^2}=\rho\sqrt{3}[/tex]
[tex]1-\rho^2=3\rho^2[/tex]
[tex]4\rho^2=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\rho=\frac{1}{2}[/tex]
L'integrale quindi mi viene
[tex]\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{1}{2}} \rho\mathrm{d}\rho \int_{\rho\sqrt{3}}^{\sqrt{1-\rho^2}} \mathrm{d}z[/tex]
Il risultato è (salvo errori) [tex]\frac{\pi(2-\sqrt{3})}{3}[/tex] che non torna con quello del testo.
In coordinate polari ho invece pensato che [tex]\rho\in[0,1][/tex],[tex]\theta\in[0,2\pi][/tex] e [tex]\phi\in[\frac{2\pi}{3},\pi][/tex]. Salto i passaggi, l'integrale mi viene (potrei anche aver sbagliato) [tex]\frac{\pi}{3}[/tex], che getta ulteriore confusione nella mia testa.
A questo punto certezze ne ho più poche...
Qualcuno ha voglia di darmi una manina? Grazie!
Grazie TeM per la spiegazione!
Non mettevo in dubbio la correttezza del tuo precedente risultato, ma proprio il fatto di avere interpretato io male il problema.
Si tratta di un tema d'esame e mi pare estremamente improbabile che la soluzione sia così clamorosamente diversa. Se ci fosse stato un più invece di un meno o qualcosa del genere, avrei potuto pensare ad un typo, ma come giustamente fai notare, l'esercizio si risolve (se uno lo sa fare) facilmente. Quindi la risposta che mi sono dato è che forse c'è qualcosa del testo che ho interpretato in maniera non corretta, nello specifico il posizionamento della sfera (che ad essere fiscali non viene precisato che sia centrata nell'origine).
La soluzione, errori commessi nel mio post compresi, mi è chiara. Il perché non sia quella riportata come corretta lo è molto meno.
Grazie ancora per la spiegazione,
L-
Non mettevo in dubbio la correttezza del tuo precedente risultato, ma proprio il fatto di avere interpretato io male il problema.
Si tratta di un tema d'esame e mi pare estremamente improbabile che la soluzione sia così clamorosamente diversa. Se ci fosse stato un più invece di un meno o qualcosa del genere, avrei potuto pensare ad un typo, ma come giustamente fai notare, l'esercizio si risolve (se uno lo sa fare) facilmente. Quindi la risposta che mi sono dato è che forse c'è qualcosa del testo che ho interpretato in maniera non corretta, nello specifico il posizionamento della sfera (che ad essere fiscali non viene precisato che sia centrata nell'origine).
La soluzione, errori commessi nel mio post compresi, mi è chiara. Il perché non sia quella riportata come corretta lo è molto meno.
Grazie ancora per la spiegazione,
L-
Ok, grazie ancora e prima o poi chiederò lumi e li posterò!
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