[Analisi II] Teorema degli zeri a più variabili
Buonasera a tutti, premetto che ho già cercato nel forum ma non ho trovato questo "caso particolare" di dimostrazione e non saprei come procedere..l'enunciato del teorema (preso da un compito d'esame della mia prof) è il seguente :
Sia \(\displaystyle C \) un sottoinsieme chiuso e connesso di \(\displaystyle R^n \). Siano \(\displaystyle f : C \to R \) continua in \(\displaystyle C \), e \(\displaystyle x_1; x_2 \in C \) tali che \(\displaystyle f(x_1) < 0 \) e \(\displaystyle f(x_2) > 0 \). Allora esiste \(\displaystyle c \in C \) tale \(\displaystyle f(c) = 0 \).
La cosa che un pochino mi sconvolge è il fatto che l'insieme di definizione della funzione sia un chiuso e connesso..Purtroppo sono mancato qualche giorno da lezione e quindi mi sono fatto prestare gli appunti da un collega..probabilmente la prof (che ha dimostrato sicuramente il caso di f definita in un aperto connesso) avrà aggiunto qualche dettaglio in più riguardo questo caso..
Mentre ci sono vi posto la dimostrazione che ho nel caso in cui l'insieme sia aperto connesso, così magari (ve ne sarei veramente grato) gli date un occhiata (se potete) e mi confermate se è corretta.
Dimostrazione
Consideriamo due punti \(\displaystyle x_1; x_2 \in A \) (aperto connesso). Siccome l'insieme è aperto connesso, essi possono essere sempre congiunti con una poligonale formata da un numero finito di segmenti del tipo :
con \(\displaystyle i=0,1,2,...n \). Se adesso restringiamo la funzione al segmento \(\displaystyle s_i(t) \) (iterando i vari segmenti) e valutando il valore di \(\displaystyle f \) agli estremi del segmento considerato, avremo che per il segmento \(\displaystyle s_1(t) \) di estremi \(\displaystyle P_0=x_1; P_i \)la funzione assumerà valori \(\displaystyle f(x_1)<0 \) (per ipotesi) mentre in \(\displaystyle P_1 \) potrà assumere valore positivo,negativo o nullo. Pertanto, se :
Sia \(\displaystyle C \) un sottoinsieme chiuso e connesso di \(\displaystyle R^n \). Siano \(\displaystyle f : C \to R \) continua in \(\displaystyle C \), e \(\displaystyle x_1; x_2 \in C \) tali che \(\displaystyle f(x_1) < 0 \) e \(\displaystyle f(x_2) > 0 \). Allora esiste \(\displaystyle c \in C \) tale \(\displaystyle f(c) = 0 \).
La cosa che un pochino mi sconvolge è il fatto che l'insieme di definizione della funzione sia un chiuso e connesso..Purtroppo sono mancato qualche giorno da lezione e quindi mi sono fatto prestare gli appunti da un collega..probabilmente la prof (che ha dimostrato sicuramente il caso di f definita in un aperto connesso) avrà aggiunto qualche dettaglio in più riguardo questo caso..
Mentre ci sono vi posto la dimostrazione che ho nel caso in cui l'insieme sia aperto connesso, così magari (ve ne sarei veramente grato) gli date un occhiata (se potete) e mi confermate se è corretta.
Dimostrazione
Consideriamo due punti \(\displaystyle x_1; x_2 \in A \) (aperto connesso). Siccome l'insieme è aperto connesso, essi possono essere sempre congiunti con una poligonale formata da un numero finito di segmenti del tipo :
\(\displaystyle s_i(t) = P_{i+1}t + P_i(1-t) \)
con \(\displaystyle i=0,1,2,...n \). Se adesso restringiamo la funzione al segmento \(\displaystyle s_i(t) \) (iterando i vari segmenti) e valutando il valore di \(\displaystyle f \) agli estremi del segmento considerato, avremo che per il segmento \(\displaystyle s_1(t) \) di estremi \(\displaystyle P_0=x_1; P_i \)la funzione assumerà valori \(\displaystyle f(x_1)<0 \) (per ipotesi) mentre in \(\displaystyle P_1 \) potrà assumere valore positivo,negativo o nullo. Pertanto, se :
[*:36xppnc9] \(\displaystyle f(P_1)=0 \) abbiamo ottenuto la tesi[/*:m:36xppnc9]
[*:36xppnc9] \(\displaystyle f(P_1)<0 \) dobbiamo continuare ad iterare i segmenti fino a cadere nel caso successivo[/*:m:36xppnc9]
[*:36xppnc9] \(\displaystyle f(P_1)>0 \) si è verificato un cambio di segno nel valore di \(\displaystyle f \)
[/*:m:36xppnc9][/list:u:36xppnc9]
Supponendo di aver raggiunto la condizione \(\displaystyle f(P_{i-1})<0 ; f(P_i)>0 \) avremo che la funzione ristretta a quest'ultimo segmento \(\displaystyle f(s(t)) \) (funzione composta) sarà continua (perchè la composizione tra due funzioni continue è ancora una funzione continua). Allora possiamo definire una funzione ausiliaria :
\(\displaystyle f(s(t)) = F(t) : [0,1] -> R \)
e tale che \(\displaystyle F(0) <0 ; F(1) > 0 \). Osservando che questa funzione è nell'unica variabile \(\displaystyle t \) possiamo applicare il teorema di esistenza degli zeri per funzioni in una variabile, ovvero :
\(\displaystyle \exists \tilde{x} \in ]0,1[ : F(\tilde{x})=0 \)
allora utilizzando la funzione segmento abbiamo che \(\displaystyle \exists c = s(\tilde{x}) : f(c) = 0 \).
La dimostrazione è corretta? Secondo voi va bene dimostrarlo così in sede d'esame oppure è meglio utilizzare un dimostrazione alternativa? Sono abbastanza sicuro che la prof abbia utilizzato una dimostrazione che partiva da questa ipotesi :
Per ipotesi prendiamo due punti \(\displaystyle x_1; x_2 \in A \) (aperto connesso) tali che \(\displaystyle f(x_1) < 0 \) e \(\displaystyle f(x_2) > 0 \), allora abbiamo che \(\displaystyle f(x_1) \cdot f(x_2) < 0 \)...ecc..
purtroppo il mio egregissimo collega non si è appuntato nemmeno questo..magari pensava che imparare una dimostrazione fosse difficile, figuriamoci due..
Risposte
Definiamo gli insiemi (non vuoti per ipotesi)
\[
A:= \{x\in C:\ f(x) > 0\}, \qquad
B:= \{x\in C:\ f(x) < 0\}.
\]
Poiché \(f\) è continua, questi insiemi sono aperti nella topologia relativa di \(C\), e \(A\cap B = \emptyset\).
Se per assurdo \(f\) non avesse zeri, allora avremmo \(A\cup B = C\), con \(A, B\) aperti non vuoti, il che è in contraddizione col fatto che \(C\) è connesso.
La dimostrazione che hai fatto non va bene in questo caso, poiché in generale un insieme può essere connesso anche se non è connesso per archi (cosa che non accade se esso è aperto).
\[
A:= \{x\in C:\ f(x) > 0\}, \qquad
B:= \{x\in C:\ f(x) < 0\}.
\]
Poiché \(f\) è continua, questi insiemi sono aperti nella topologia relativa di \(C\), e \(A\cap B = \emptyset\).
Se per assurdo \(f\) non avesse zeri, allora avremmo \(A\cup B = C\), con \(A, B\) aperti non vuoti, il che è in contraddizione col fatto che \(C\) è connesso.
La dimostrazione che hai fatto non va bene in questo caso, poiché in generale un insieme può essere connesso anche se non è connesso per archi (cosa che non accade se esso è aperto).
Grazie mille per la risposta 
, quindi se l'insieme è chiuso e connesso (caso generale) è sufficiente ragionare per assurdo trovando la contraddizione con il fatto che (per ipotesi) C deve essere connesso. Invece, se l'insieme è un aperto e connesso (a quanto ho capito si tratta di un caso particolare del precedente) allora devo utilizzare la dimostrazione che ho scritto io oppure nemmeno quella lì va bene?
Grazie ancora per la risposta domani ho lo scritto di analisi e mi è rimasto quest'ultimo dubbio..
, quindi se l'insieme è chiuso e connesso (caso generale) è sufficiente ragionare per assurdo trovando la contraddizione con il fatto che (per ipotesi) C deve essere connesso. Invece, se l'insieme è un aperto e connesso (a quanto ho capito si tratta di un caso particolare del precedente) allora devo utilizzare la dimostrazione che ho scritto io oppure nemmeno quella lì va bene?Grazie ancora per la risposta
domani ho lo scritto di analisi e mi è rimasto quest'ultimo dubbio..
Se non ho fatto errori io, la dimostrazione che ho scritto vale per qualsiasi insieme \(C\) connesso (senza ulteriori ipotesi di apertura, chiusura, etc.).
La dimostrazione che hai riportato tu vale solo nel caso particolare di insieme connesso per archi (e un aperto di \(\mathbb{R}^n\) è sempre connesso per archi).
La dimostrazione che hai riportato tu vale solo nel caso particolare di insieme connesso per archi (e un aperto di \(\mathbb{R}^n\) è sempre connesso per archi).
Benissimo ! 
ti ringrazio ancora per avermi dedicato del tempo 
PS : ho controllato meglio la tua dimostrazione in modo da riuscire anche a capirla (e non solo impararla a memoria) ed effettivamente (non avevo dubbi) è corretta e anche molto elegante
senza necessità di andare a scomodare calcoli su calcoli. Inoltre, come facevi notare, se è presente la condizione di insieme connesso (aperto o chiuso) è sempre valida! A questo punto spero che domani ci sia da dimostrare questo teorema 
ti ringrazio ancora per avermi dedicato del tempo PS : ho controllato meglio la tua dimostrazione in modo da riuscire anche a capirla (e non solo impararla a memoria) ed effettivamente (non avevo dubbi) è corretta e anche molto elegante
senza necessità di andare a scomodare calcoli su calcoli. Inoltre, come facevi notare, se è presente la condizione di insieme connesso (aperto o chiuso) è sempre valida! A questo punto spero che domani ci sia da dimostrare questo teorema
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