[Analisi II] Studio di una funzione
Buonasera a tutti, sto facendo un pò di esercizi sullo studio di funzioni in \(\displaystyle R^2 \) e facendone uno mi è venuto qualche dubbio che vorrei chiarire insieme a voi.
Esercizio
1) Determinare l'insieme di definizione \(\displaystyle D \)
2) Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo
3) determinare l'estremo inferiore e l'estremo superiore di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle D \)
Io l'ho svolto così :
1) Insieme di definizione
L'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi :
Pongo \(\displaystyle (x+y)=t \) allora :
Siccome il \(\displaystyle \Delta <0 \) di conseguenza, \(\displaystyle D=R^2 \)
2) Massimi e minimi
Calcolo le derivate parziali e ottengo che :
Quindi i punti di massimo/minimo relativo sono tutti e soli i punti che stanno sulla retta di equazione :
Adesso, per studiare la natura di tali punti calcolo la matrice Hessiana. Tutte le derivate parziali seconde sono (ovviamente) uguali. Ottengo che :
Se adesso considero un generico punto sulla retta, ad esempio \(\displaystyle p=(0-\frac{1}{2}) \) e sostituisco, ottengo una matrice Hessiana avente come elementi tutti pari a \(\displaystyle \frac{8}{3} \). Calcolo il polinomio caratteristico ottenendo :
Questo significa che la matrice Hessiana è semidefinita positiva e quindi i punti della retta sono tutti dei punti di minimo relativo.
Domanda : Dato che il dominio di \(\displaystyle f \) è tutto \(\displaystyle R^2 \), i punti sono di minimo assoluto? Quello che mi blocca è il fatto che la matrice è semidefinita positiva, quindi non so se questo influisce sulla natura dei punti.
3) Estremo inferiore e estremo superiore
Domanda : Estremo inferiore ed estremo superiore di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle D \) significa determinare l'estremo inferiore ed estremo superiore di \(\displaystyle f(D) \)? Cioè, bisogna trovare \(\displaystyle sup \) e \(\displaystyle inf \) del codominio della funzione?
Se è come detto sopra, dato che il logaritmo può assumente tutti i valori compresi tra \(\displaystyle ]-\infty,+\infty[ \), allora dovrei dire che \(\displaystyle sup f(D) = +\infty \) e \(\displaystyle inf f(D) = -\infty \) ?
Domanda : Sempre se quello che ho scritto è corretto, questo è un caso particolare..in generale come dovrei procedere? Scusate, ma in questa parte non mi sento particolarmente sicuro
Esercizio
\(\displaystyle f(x,y) = log [ (x+y)^2+x+y+1 ] \)
1) Determinare l'insieme di definizione \(\displaystyle D \)
2) Trovare gli eventuali punti di massimo e minimo relativo
3) determinare l'estremo inferiore e l'estremo superiore di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle D \)
Io l'ho svolto così :
1) Insieme di definizione
L'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi :
\(\displaystyle (x+y)^2+x+y+1 > 0\)
Pongo \(\displaystyle (x+y)=t \) allora :
\(\displaystyle t^2+t+1>0 \)
Siccome il \(\displaystyle \Delta <0 \) di conseguenza, \(\displaystyle D=R^2 \)
2) Massimi e minimi
Calcolo le derivate parziali e ottengo che :
\(\displaystyle \frac{d}{dx} f(x,y) = \frac{d}{dy} f(x,y) = \frac{2x+2y+1}{(x+y)^2+x+y+1} \)
Quindi i punti di massimo/minimo relativo sono tutti e soli i punti che stanno sulla retta di equazione :
\(\displaystyle y = -x -\frac{1}{2} \)
Adesso, per studiare la natura di tali punti calcolo la matrice Hessiana. Tutte le derivate parziali seconde sono (ovviamente) uguali. Ottengo che :
\(\displaystyle d^2f(x,y) = \frac{2[(x+y)^2+x+y+1]-\frac{(2x+2y+1)^2}{(x+y)^2+x+y+1)}}{((x+y)^2+x+y+1)^2}\)
Se adesso considero un generico punto sulla retta, ad esempio \(\displaystyle p=(0-\frac{1}{2}) \) e sostituisco, ottengo una matrice Hessiana avente come elementi tutti pari a \(\displaystyle \frac{8}{3} \). Calcolo il polinomio caratteristico ottenendo :
\(\displaystyle det(H_f(0,-\frac{1}{2})-\lambda I) = \lambda(\lambda-\frac{16}{3}) \)
Questo significa che la matrice Hessiana è semidefinita positiva e quindi i punti della retta sono tutti dei punti di minimo relativo.
Domanda : Dato che il dominio di \(\displaystyle f \) è tutto \(\displaystyle R^2 \), i punti sono di minimo assoluto? Quello che mi blocca è il fatto che la matrice è semidefinita positiva, quindi non so se questo influisce sulla natura dei punti.
3) Estremo inferiore e estremo superiore
Domanda : Estremo inferiore ed estremo superiore di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle D \) significa determinare l'estremo inferiore ed estremo superiore di \(\displaystyle f(D) \)? Cioè, bisogna trovare \(\displaystyle sup \) e \(\displaystyle inf \) del codominio della funzione?
Se è come detto sopra, dato che il logaritmo può assumente tutti i valori compresi tra \(\displaystyle ]-\infty,+\infty[ \), allora dovrei dire che \(\displaystyle sup f(D) = +\infty \) e \(\displaystyle inf f(D) = -\infty \) ?
Domanda : Sempre se quello che ho scritto è corretto, questo è un caso particolare..in generale come dovrei procedere? Scusate, ma in questa parte non mi sento particolarmente sicuro
Risposte
E se ponessi $x+y=t$ avresti
$f'(t)=\frac{2t+1}{t^2+t+1}$
che si annulla solo per $t=-1/2$ (con $t=x+y$ riporta il tuo risultato
).
Per il resto quella derivata è positiva per $t> -1/2$ e negativa per $t< -1/2$ quindi non si può estendere il tutto alle due variabili e dedurre che sono punti di minimo?
@gio73
Per un momento mi si sono mischiati il grafico della funzione e quello della derivata. Immaginando la derivata come un "+ 0 -" ho pensato fosse sella perché immaginavo una funzione discendente.
$f'(t)=\frac{2t+1}{t^2+t+1}$
che si annulla solo per $t=-1/2$ (con $t=x+y$ riporta il tuo risultato
).Per il resto quella derivata è positiva per $t> -1/2$ e negativa per $t< -1/2$ quindi non si può estendere il tutto alle due variabili e dedurre che sono punti di minimo?
@gio73
Per un momento mi si sono mischiati il grafico della funzione e quello della derivata. Immaginando la derivata come un "+ 0 -" ho pensato fosse sella perché immaginavo una funzione discendente.
Ciao
personalmente amo fare lo studio del segno ed eventuali considerazioni grafiche
A me par di intuire che i punti della retta $y=-x-1/2$ siano tutti punti di minimo assoluto
personalmente amo fare lo studio del segno ed eventuali considerazioni grafiche
A me par di intuire che i punti della retta $y=-x-1/2$ siano tutti punti di minimo assoluto
utilizzando il classico metodo della matrice Hessiana i punti della retta dovrebbero essere di minimo e non di sella. In particolare, dato che la funzione è definita su tutto \(\displaystyle R^2 \), per definizione, sono dei punti di minimo assoluto.
Passando al punto 3), cosa intende l'esercizio per "determinare estremo inferiore ed estremo superiore di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle D \)? Quello che dicevo io sul fatto di trovare gli estremi di \(\displaystyle f(D) \) e quindi del codominio di \(\displaystyle f \)?
Passando al punto 3), cosa intende l'esercizio per "determinare estremo inferiore ed estremo superiore di \(\displaystyle f \) in \(\displaystyle D \)? Quello che dicevo io sul fatto di trovare gli estremi di \(\displaystyle f(D) \) e quindi del codominio di \(\displaystyle f \)?
nessuno?
Determinare estremo inferiore e superiore di $f$ in $D$ significa trovare estremo inferiore e superiore del codominio della funzione?
Determinare estremo inferiore e superiore di $f$ in $D$ significa trovare estremo inferiore e superiore del codominio della funzione?
direi di sì
qual è il valore più alto che la funzione può avere? (estremo superiore)
e quello più basso? (estremo inferiore)
qual è il valore più alto che la funzione può avere? (estremo superiore)
e quello più basso? (estremo inferiore)
"gio73":
direi di sì
qual è il valore più alto che la funzione può avere? (estremo superiore)
e quello più basso? (estremo inferiore)
grazie mille del chiarimento
a volte mi perdo in un bicchier d'acqua.. 
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