[ANALISI II] - Quesiti
Buonasera a tutti. Sto preparando l'esame di Analisi II ed avrei alcuni dubbi su degli esercizi..li posto qui di seguito, nel caso qualcuno potesse/volesse darmi una mano:
1) Considerata la superficie $phi=(0,u,v)$ con $(u,v) [0,1]^2$, riconoscere che $phi$ è una superficie con bordo.
Sapendo che una superficie con bordo se $phi$ è la restrizione di un dominio D di una funzione di classe c1 in A, dove A è un aperto contenente D, e che $phi$ è invertibile in tutto D e che la matrice Jacobiana ha rango 2 in tutti i punti di D, come faccio a dimostrarlo in questo caso?
2) Assegnata $y^{\prime}=-(y^2)/(1+x^2)$, la funzione a secondo membro dell'equazione verifica le ipotesi del Teorema di esistenza e unicità di Cauchy locale?
Basta che verifico che la funzione è continua in un rettangolo IxJ e che sia lipschitziana rispetto a y uniformemente rispetto a x...solo che non riesco a farlo
3) Come verificare se un insieme è aperto, aperto connesso, o aperto semplicemente connesso?
4) Come parametrizzare le limitazioni di una superficie, ad esempio "La parte di superficie $z= x^2+y^2$ che sta sopra il quadrato di R definito da $-1<=x<=1, -1<=y<=1$"
So che forse ho chiesto troppo, ma purtroppo sono bloccato in casa e non posso andare a ricevimento dal professore...sarò grato a tutti coloro che risponderanno, anche a un solo quesito
1) Considerata la superficie $phi=(0,u,v)$ con $(u,v) [0,1]^2$, riconoscere che $phi$ è una superficie con bordo.
Sapendo che una superficie con bordo se $phi$ è la restrizione di un dominio D di una funzione di classe c1 in A, dove A è un aperto contenente D, e che $phi$ è invertibile in tutto D e che la matrice Jacobiana ha rango 2 in tutti i punti di D, come faccio a dimostrarlo in questo caso?
2) Assegnata $y^{\prime}=-(y^2)/(1+x^2)$, la funzione a secondo membro dell'equazione verifica le ipotesi del Teorema di esistenza e unicità di Cauchy locale?
Basta che verifico che la funzione è continua in un rettangolo IxJ e che sia lipschitziana rispetto a y uniformemente rispetto a x...solo che non riesco a farlo
3) Come verificare se un insieme è aperto, aperto connesso, o aperto semplicemente connesso?
4) Come parametrizzare le limitazioni di una superficie, ad esempio "La parte di superficie $z= x^2+y^2$ che sta sopra il quadrato di R definito da $-1<=x<=1, -1<=y<=1$"
So che forse ho chiesto troppo, ma purtroppo sono bloccato in casa e non posso andare a ricevimento dal professore...sarò grato a tutti coloro che risponderanno, anche a un solo quesito
Risposte
Ciao,
per il 2) la continuità è banale; poi per l'altra ipotesi tieni presente che è sufficiente verificare la limitatezza della derivata parziale rispetto a y.
per il 2) la continuità è banale; poi per l'altra ipotesi tieni presente che è sufficiente verificare la limitatezza della derivata parziale rispetto a y.
1) jubstuff, forse non ho capito bene, ma ti stai riferendo alla superficie $\phi:(u,v)\mapsto (0,u,v)$? Seguirebbe subito che sul quadrato [0,1]^2 l'immagine è una superficie con bordo (cioè è sempre lui, il quadrato pieno, nel piano yz); in realtà la $phi$ non è invertibile, ma la sua jacobiana è iniettiva e ha rango due come dici tu:
$[(\phi_u, \phi_v)]=[(0,0),(1,0),(0,1)]$
2) dato che stai trattando esistenza e unicità locale ti basta verificare che la derivata in y sia una funzione continua sul tuo IxJ, e questo è sufficiente, se vuoi trattare l'esistenza e unicità in grande confermo quello che dice luluemicia, cioè vedere che la derivata in y sia limitata.
3) Per verificare se un insieme A è aperto devi effettivamente vedere se dato un qualsiasi punto x di A esiste un intorno D di x di un certo raggio r contenuto in A.
Connesso significa che il tuo A non può essere unione di due aperti disgiunti (non vuoti). Semplicemente connesso significa che ogni curva chiusa in A la puoi deformare in un punto.
4) la parametrizzi così: $\phi(u,v)=(u,v,u^2 +v^2)$ con $(u,v)\in [-1,1]^2$.
se non sono chiaro dimmelo..
ciao
$[(\phi_u, \phi_v)]=[(0,0),(1,0),(0,1)]$
2) dato che stai trattando esistenza e unicità locale ti basta verificare che la derivata in y sia una funzione continua sul tuo IxJ, e questo è sufficiente, se vuoi trattare l'esistenza e unicità in grande confermo quello che dice luluemicia, cioè vedere che la derivata in y sia limitata.
3) Per verificare se un insieme A è aperto devi effettivamente vedere se dato un qualsiasi punto x di A esiste un intorno D di x di un certo raggio r contenuto in A.
Connesso significa che il tuo A non può essere unione di due aperti disgiunti (non vuoti). Semplicemente connesso significa che ogni curva chiusa in A la puoi deformare in un punto.
4) la parametrizzi così: $\phi(u,v)=(u,v,u^2 +v^2)$ con $(u,v)\in [-1,1]^2$.
se non sono chiaro dimmelo..
ciao
Grazie a entrambi, ora ho le idee un po più chiare...anche se ho ancora qualche dubbio:
Ma posso giustificare che un aperto non è connesso perchè non è connesso per poligonali?
Pappus, ma quindi non posso dire che la superficie $phi$ è una superficie con bordo, oppure si?
Poi, sempre se non sono di troppo disturbo, cercavo una mano per parametrizzare il dominio di $R^3$ definito dalle limitazioni $x^2+y^2<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)$..
Grazie a tutti per l'attenzione e scusate per il troppo disturbo
Ma posso giustificare che un aperto non è connesso perchè non è connesso per poligonali?
Pappus, ma quindi non posso dire che la superficie $phi$ è una superficie con bordo, oppure si?
Poi, sempre se non sono di troppo disturbo, cercavo una mano per parametrizzare il dominio di $R^3$ definito dalle limitazioni $x^2+y^2<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)$..
Grazie a tutti per l'attenzione e scusate per il troppo disturbo
Certo: un aperto A di $RR^n$ è connesso se e solo se A è poligonalmente connesso (in generale vale per tutte le varietà differenziabilie). Attenzione pero' che in generale in uno sp. top. vale solo un'implicazione e non il viceversa (cioè connesso per archi implica connesso ma non viceversa, pensa ad esempio il grafico di $y=sin(1/x)$, x>0 unito il punto (0,0)).
Certo che quella superficie è una superficie con bordo. Piuttosto come ha definito la tua professoressa superficie con bordo? e come fa la verifica in generale?
Per il terzo punto se mi dici a quale scopo ti serve parametrizzare quel dominio. Serve per un esercizio in particolare o può semplicemente capitari come domanda: "Mi parametrizzi questo dominio!"
ciao
Certo che quella superficie è una superficie con bordo. Piuttosto come ha definito la tua professoressa superficie con bordo? e come fa la verifica in generale?
Per il terzo punto se mi dici a quale scopo ti serve parametrizzare quel dominio. Serve per un esercizio in particolare o può semplicemente capitari come domanda: "Mi parametrizzi questo dominio!"
ciao
Ciao pappus,
la definizione di superficie è quella che ho scritto nel primo post...solo che appunto on so come di solito fa la dimostrazione
La parametrizzazione di quel dominio mi serve per l'integrale triplo di z, io avevo pensato di renderlo in coordinate polari, ma non riesco a capire come fare per poi vedere a quale piano è normale....
Grazie per la collaborazione
la definizione di superficie è quella che ho scritto nel primo post...solo che appunto on so come di solito fa la dimostrazione
La parametrizzazione di quel dominio mi serve per l'integrale triplo di z, io avevo pensato di renderlo in coordinate polari, ma non riesco a capire come fare per poi vedere a quale piano è normale....
Grazie per la collaborazione
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