[Analisi II] Moltiplicatori Lagrange

[Luc@s]

Qualcuno potrebbe spiegarmi meglio il concetto, a me non molto chiaro, di Moltiplicatori Lagrange e magari dare qualche semplice esempio??


Tnks

[antrope]

I moltiplicatori di Lagrange sono uno strumento potente per trovare estremi gli estremi vincolati di una funzione.. Per farsi qualche idea:

Un VINCOLO è un luogo geometrico definito da un equazione, tale che F(x,y) = 0

Il teorema dei moltiplicatori di lagrange afferma che (non uso le formule perchè a quest'ora farei qualche casino):

Il gradiente della nostra funzione da studiare f(x,y) è sostanzialmente un multiplo del gradiente del vincolo F(x,y) e quindi:

$ \grad f(x,y) = \lambda \grad F(x,y) $

Questo significa che ci basta studiare la funzione $ L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda F(x,y) $ detta Lagrangiana, e quindi imporre l'annullamento delle tre derivate parziali (rispetto x,y, e lambda).

Per l'esempio vediamo domani se posso fare qualcosa, ma prova a usare una funzione tipo $ f(x,y) = x^2 + y^2 $ e un vincolo del tipo $ F(x,y) = x^2+y^2 = 4 $ e ad applicare le poche cose che ho detto

[Luc@s]

Quindi provo a fare una cosa tipo
$F(x,y) = x^2 + y^2 - \lambda(x^2 + y^2 -4)$
Che mi da il sistema:
{
$Df_x = 2x - \lambda(2x) = 0$
$Df_y = 2y - \lambda(2y) = 0$
}

Che poi risolto mi da un punto $P(P_x, P_y)$ che se poi infilo nella hessiana $Hf(P_x, P_y)= [[2,0],[0,2]]$ mi da cosa sia il punto se sella/max/min...($Df_{x x} > 0 =>$ minimo relativo se non ricordo male)

Ho sbagliato/dimenticato qualcosa?



Ciauz

[antrope]

Qualcosina in effetti manca e non è di poco conto.. La lagrangiana è una funzione dipendente da tre variabili, e quindi devi fare la derivata parziale anche rispetto a $\lambda$, e sostanzialmente avrai nient'altro che una terza equazione con F(x,y) = 0.