Analisi II - Integrale doppio con modulo
Ciao a tutti, sono nuovo del forum e scrivo perché mi servirebbe una mano nello svolgimento di un esercizio di Analisi II; per la precisione un integrale doppio.
Il testo è il seguente:
$ int int_(D)|y/x^3| dx dy , D={1<=x^2+y^2<=4 , -x<=y<=x} $
Ho disegnato il dominio che risulta essere il seguente:
Ho pensato di studiare il modulo nel seguente modo:
Dato che x è sempre positiva, $ y/x^3 $ sarà positiva per $ y>0 $ e negativa per $ y<0 $
Quindi ho pensato di risolvere $ int int y/x^3 dx dy $ per $ y>0 $ e $ int int -y/x^3 dx dy $ per $ y<0 $
Ho risolto il primo integrale passando in coordinate polari
$ { ( x=rho costheta ),( y=rho sentheta ):} $
e considerando il nuovo dominio di integrazione
$ Omega = { 1<= rho <= 2 , 0<= theta <=pi/4 } $
$ int int_(Omega)(rhosentheta)/(rho^3cos^3theta) rho drho d theta = int int_(Omega)1/rho (sentheta)/cos^2theta drho d theta = ln(2)/2 $
Vorrei innanzitutto una conferma sulla correttezza del mio ragionamento, e poi una mano nella risoluzione dell'altro integrale, dato che mi sta dando dei problemi.
Il $ theta $ nel secondo integrale tra quali valori devo farlo variare? Io ho considerato $ 7pi/4 $ e $ 0 $ , ma così facendo non ho un integrale definito.
Grazie
Il testo è il seguente:
$ int int_(D)|y/x^3| dx dy , D={1<=x^2+y^2<=4 , -x<=y<=x} $
Ho disegnato il dominio che risulta essere il seguente:
Ho pensato di studiare il modulo nel seguente modo:
Dato che x è sempre positiva, $ y/x^3 $ sarà positiva per $ y>0 $ e negativa per $ y<0 $
Quindi ho pensato di risolvere $ int int y/x^3 dx dy $ per $ y>0 $ e $ int int -y/x^3 dx dy $ per $ y<0 $
Ho risolto il primo integrale passando in coordinate polari
$ { ( x=rho costheta ),( y=rho sentheta ):} $
e considerando il nuovo dominio di integrazione
$ Omega = { 1<= rho <= 2 , 0<= theta <=pi/4 } $
$ int int_(Omega)(rhosentheta)/(rho^3cos^3theta) rho drho d theta = int int_(Omega)1/rho (sentheta)/cos^2theta drho d theta = ln(2)/2 $
Vorrei innanzitutto una conferma sulla correttezza del mio ragionamento, e poi una mano nella risoluzione dell'altro integrale, dato che mi sta dando dei problemi.
Il $ theta $ nel secondo integrale tra quali valori devo farlo variare? Io ho considerato $ 7pi/4 $ e $ 0 $ , ma così facendo non ho un integrale definito.
Grazie
Risposte
Ciao,
esatto va bene $7/4pi$ e $0$.
Oppure per semplicità tra $-pi/4$ e $0$. In ogni caso l'integrale è uguale al precedente...
Buona notte.
esatto va bene $7/4pi$ e $0$.Oppure per semplicità tra $-pi/4$ e $0$. In ogni caso l'integrale è uguale al precedente...
Buona notte.
"Scotti":
Ciao,
Oppure per semplicità tra $-pi/4$ e $0$. In ogni caso l'integrale è uguale al precedente...
Buona notte.
Ciao, grazie per la risposta.
Il mio dubbio viene dal fatto che, risolvendo il secondo integrale con Wolfram, considerando $ - pi/4 $ e $ 0 $ come estremi di integrazione il risultato è lo stesso, $ ln(2)/2 $, considerando però $ 7/4 pi $ mi dice che l'integrale non converge
Quindi il risultato finale sarebbe $ ln(2) $ ?
Me lo confermi?
Benissimo.
Bye
Bye
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