[Analisi II] Integrale di un campo esteso ad una curva?
Ragazzi oggi vi chiedo aiuto riguardo al metodo di risoluzione degli esercizi che chiedono di risolvere l'integrale di un campo esteso ad una curva.
Prima di partire con un esempio vorrei esporvi come procedo e quali sono i miei dubbi a riguardo:
1-Una volta datami una forma differenziale (il prof fornisce le forme differenziali e non direttamente i campi), procedo subito con il trovare il campo associato "dividendo" la forma in due
2-procedo allo studio dei due campi in modo da vedere se essi sono o meno integrabili (tramite un procedimento puramente "calcoloso" e che richiede un pochino di tempo)
---Quì ho il primo dubbio, infatti non so se il secondo passaggio è strettamente necessario o meno, il compito è un compito a crocette da 30 minuti e non so se fare passaggi inutili sia di mio giovamento!---
3-una volta visto se il campo è integrabile, calcolo una sua primitiva con gli estremi di integrazione che mi da il prof o che mi devo calcolare.
Se il procedimento è giusto, possiamo passare ad un esercizio che non riesco a risolvere per qualche dubbio:
L’integrale del campo \(\displaystyle -\frac{y}{(x^2 + y^2)},\frac{x}{(x^2 + y^2)} \)esteso ad una qualunque curva contenuta nel primo quadrante avente per estremi (1,2) e (2,4) è?
Ora in questo caso il prof mi ha dato entrambi i campi senza che me li devo ricavare io (poco male). procedo allo studio del campo e vedo che esso è integrabile (integro A1 rispetto a x ottenendo F(x,y)=G(x,y)+h(x,y), derivo F(x,y) rispetto ad y, uguaglio F(x,y)y ad A1, trovo la primitiva h(y), infine vedo che il gradiente di F è uguale ad A, quindi il campo è integrabile)
una volta fatto ciò procedo al calcolo. quì iniziano i miei dubbi, infatti quale tra A1 ed A2 devo integrare? e quali sono gli estremi di integrazione?
Scusate delle infinite domande, spero che riusciate a rispondermi. Grazie a tutti!!!
Prima di partire con un esempio vorrei esporvi come procedo e quali sono i miei dubbi a riguardo:
1-Una volta datami una forma differenziale (il prof fornisce le forme differenziali e non direttamente i campi), procedo subito con il trovare il campo associato "dividendo" la forma in due
2-procedo allo studio dei due campi in modo da vedere se essi sono o meno integrabili (tramite un procedimento puramente "calcoloso" e che richiede un pochino di tempo)
---Quì ho il primo dubbio, infatti non so se il secondo passaggio è strettamente necessario o meno, il compito è un compito a crocette da 30 minuti e non so se fare passaggi inutili sia di mio giovamento!---
3-una volta visto se il campo è integrabile, calcolo una sua primitiva con gli estremi di integrazione che mi da il prof o che mi devo calcolare.
Se il procedimento è giusto, possiamo passare ad un esercizio che non riesco a risolvere per qualche dubbio:
L’integrale del campo \(\displaystyle -\frac{y}{(x^2 + y^2)},\frac{x}{(x^2 + y^2)} \)esteso ad una qualunque curva contenuta nel primo quadrante avente per estremi (1,2) e (2,4) è?
Ora in questo caso il prof mi ha dato entrambi i campi senza che me li devo ricavare io (poco male). procedo allo studio del campo e vedo che esso è integrabile (integro A1 rispetto a x ottenendo F(x,y)=G(x,y)+h(x,y), derivo F(x,y) rispetto ad y, uguaglio F(x,y)y ad A1, trovo la primitiva h(y), infine vedo che il gradiente di F è uguale ad A, quindi il campo è integrabile)
una volta fatto ciò procedo al calcolo. quì iniziano i miei dubbi, infatti quale tra A1 ed A2 devo integrare? e quali sono gli estremi di integrazione?
Scusate delle infinite domande, spero che riusciate a rispondermi. Grazie a tutti!!!
Risposte
Sinceramente mi sono un po' perso da quello che chiedi.. comunque ti posso dire sta cosa,
tu hai scritto
allora dire campo vettoriale o forma differenziale è la stessa cosa, dire Campo Vettoriale è solo una terminologia più fisica che matematica, ma sono la stessa cosa.
scrivere
Sia la forma differenziale $ \omega(x,y)=a(x,y)dx+b(x,y)dy $
Sia il campo vettoriale $ F(x,y)=(a(x,y),b(x,y)) $
sono la stessa ed identica cosa, non capisco quello che dici "dividendo" la forma in due..
il procedimento è giusto.. ma se riesci a fare quello che hai appena descritto, si dice che il campo vettoriale è conservativo (oppure se preferisci, si dice che la forma differenziale è esatta)
non capisco quando dici "è integrabile"
tu hai scritto
"Zodiac":
Prima di partire con un esempio vorrei esporvi come procedo e quali sono i miei dubbi a riguardo:
1-Una volta datami una forma differenziale (il prof fornisce le forme differenziali e non direttamente i campi), procedo subito con il trovare il campo associato "dividendo" la forma in due
allora dire campo vettoriale o forma differenziale è la stessa cosa, dire Campo Vettoriale è solo una terminologia più fisica che matematica, ma sono la stessa cosa.
scrivere
Sia la forma differenziale $ \omega(x,y)=a(x,y)dx+b(x,y)dy $
Sia il campo vettoriale $ F(x,y)=(a(x,y),b(x,y)) $
sono la stessa ed identica cosa, non capisco quello che dici "dividendo" la forma in due..
"Zodiac":
Ora in questo caso il prof mi ha dato entrambi i campi senza che me li devo ricavare io (poco male). procedo allo studio del campo e vedo che esso è integrabile (integro A1 rispetto a x ottenendo F(x,y)=G(x,y)+h(x,y), derivo F(x,y) rispetto ad y, uguaglio F(x,y)y ad A1, trovo la primitiva h(y), infine vedo che il gradiente di F è uguale ad A, quindi il campo è integrabile)
il procedimento è giusto.. ma se riesci a fare quello che hai appena descritto, si dice che il campo vettoriale è conservativo (oppure se preferisci, si dice che la forma differenziale è esatta)
non capisco quando dici "è integrabile"
Allora chiedo scusa se ho usato termini inappropriati e sbagliati, ho l'esame tra pochi giorni e per fare l'orale devo prima superare lo scritto quindi mi sono concentyrato più sugli esercizi che sulla teoria.
So perfettamente che un campo ed una forma sono equivalenti, avevo scritto "divido" la forma solo per cercare di farvi capire meglio il procedimento che applico, dimenticando che comunque voi ne sapete molto più di me (errore mio!).
Quando invece dico che il campo (/forma) è differenziabile intendo dire che esiste una sua primitiva e questo è possibile se la forma è esatta (/campo conservativo).
Per quanto riguarda quello che chiedevo, nell'esercizio:
Non capisco quali siano gli estremi di integrazione, devo costruire una curva con coordinate (1,2) e (2,4)? oppure devo fare qualche altro passaggio?
Spero di essere stato più chiaro di prima. Grazie di nuovo.
So perfettamente che un campo ed una forma sono equivalenti, avevo scritto "divido" la forma solo per cercare di farvi capire meglio il procedimento che applico, dimenticando che comunque voi ne sapete molto più di me (errore mio!).
Quando invece dico che il campo (/forma) è differenziabile intendo dire che esiste una sua primitiva e questo è possibile se la forma è esatta (/campo conservativo).
Per quanto riguarda quello che chiedevo, nell'esercizio:
"Zodiac":
L’integrale del campo \(\displaystyle -\frac{y}{(x^2 + y^2)},\frac{x}{(x^2 + y^2)} \)esteso ad una qualunque curva contenuta nel primo quadrante avente per estremi (1,2) e (2,4) è?
Non capisco quali siano gli estremi di integrazione, devo costruire una curva con coordinate (1,2) e (2,4)? oppure devo fare qualche altro passaggio?
Spero di essere stato più chiaro di prima. Grazie di nuovo.
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