Analisi II - Funzioni vettoriali continue

fender97
Salve a tutti, ho appena iniziato il corso di analisi II e ho non poche difficoltà a capire alcuni concetti apparentemente semplici. Ho trovato la seguente proprietà:

Siano $\vecf:RR^n \to RR^m$ una funzione e $\vec x_0 in dom \vecf$. $\vec f = (f_1, f_2, ... , f_m)$ è continua in $\vec x_0$ se e solo se lo sono tutte le sue componenti $f_i$.

Non riesco a dimostrare tale proprietà e naturalmente il libro mi beffa lasciando al lettore la dimostrazione :-D Intuitivamente mi verrebbe da pensare che una funzione vettoriale è continua se lo sono le sue componenti, ma non il vice versa. In altre parole: come faccio a dimostrare che se $\vecf$ è continua allora lo sono anche le componenti ?

Grazie in anticipo a chi risponderà :-)

Risposte
killing_buddha
naturalmente il libro mi beffa lasciando al lettore la dimostrazione

Non è questo, forse, un suggerimento a dimostrarla tu? Le componenti di $f$ sono la composizione \(\pi_i \circ f\) dove \(\pi_i : \mathbb R^m \to \mathbb R\). E la composizione di funzioni continue...

Raptorista1
[xdom="Raptorista"]
"fender97":
ho non poche difficoltà a capire alcuni concetti apparentemente semplici.

Ad esempio "Analisi di base" e "Analisi superiore".

Sposto.[/xdom]

dissonance
"killing_buddha":
naturalmente il libro mi beffa lasciando al lettore la dimostrazione

Non è questo, forse, un suggerimento a dimostrarla tu? Le componenti di $f$ sono la composizione \(\pi_i \circ f\) dove \(\pi_i : \mathbb R^m \to \mathbb R\). E la composizione di funzioni continue...

@OP: Questa che dice il nostro amico killing_buddha è la dimostrazione qualitativa, topologica. È elegante e concisa. Se però vuoi fare l'analista, puoi anche dare una dimostrazione quantitativa, trovando le giuste disuguaglianze. Per esempio, se
\[
\|\mathbf{x}\|^2=x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2, \]
allora saremo d'accordo che vale questa disuguaglianza:
\[\tag{1}
|x_j|\le \|\mathbf x\|,\quad \forall \mathbf x\in\mathbb R^n.\]
Nella definizione di limite della funzione vettoriale si dice che per ogni epsilon esiste delta tale che
\[
\|\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf f(\mathbf x_0)\|\le \epsilon.\]
Ma allora, usando la (1), vedi che \(|f_j(\mathbf x)-f_j(\mathbf x_0)|\le \epsilon\). E quindi la componente \(f_j\) verifica la stessa condizione di limite, con gli stessi epsilon e delta.

[ot]Sono sicuro che questa dimostrazione non piacerà a killing_buddha :-)[/ot]

fender97
\[ \|\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf f(\mathbf x_0)\|\le \epsilon. \]$ hArrow $
"killing_buddha":

Non è questo, forse, un suggerimento a dimostrarla tu? Le componenti di $ f $ sono la composizione \( \pi_i \circ f \) dove \( \pi_i : \mathbb R^m \to \mathbb R \). E la composizione di funzioni continue...


Hai ragione, di solito posto un tentativo, ma questa volta proprio non sapevo da che parte iniziare.

Grazie ad entrambi :)

Interessante la dimostrazione di killing_buddha, non l'avevo proprio immaginata sotto tale aspetto. Un esempio di quanto dici è questo?
Voglio considerare una sola componente di $\vec f$. Allora immagino una funzione \( g_i: \mathbb R^m \to \mathbb R \) tale che $ g_i \circ \vec f $
$g_i = 0*f_1 + 0*f_2 + ... + f_i + ...+ 0*f_m = f_i$

Ma a questo punto chi mi garantisce che $g_i$ sia continua?


Ho provato a pensare così:

$\vec f$ è continua $\Rightarrow$ $g_i \circ \vec f$ è continua $\hArr g_i = f_i$ è continua

Allora $\vec f$ è continua$\Rightarrow f_i$ è continua
Corretto ?

__________________
Invece per quanto riguarda dissonance, ho un dubbio su questo:
\[ \|\mathbf f(\mathbf x)-\mathbf f(\mathbf x_0)\|\le \epsilon. \]

Le definizioni di limite che conosco hanno tutte il minore stretto, senza l'uguale. In effetti però non vedo perché la norma debba essere necessariamente minore di $\epsilon$. Il resto è perfettamente chiaro, grazie :)

dissonance
È una domanda classica che è stata già chiesta varie volte sul forum, e se cerchi online troverai sicuramente molte spiegazioni. In ogni caso, l'idea è che \(\epsilon\) è un numero che può essere piccolo a piacere; dovuto a questa arbitrarietà, che la disuguaglianza sussista con \(<\) o con \(\le\) è la stessa cosa. Prova a dimostrare che un limite esiste con \(\le \epsilon\) se e solo se esso esiste con \(<\epsilon\), è facile e istruttivo.

fender97
Ti ringrazio molto :) è bastato buttare un occhio sugli appunti di analisi I, solo che ultimamente ho poco tempo e troppe cose da capire e studiare. Sarà un anno difficile, grazie ancora

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