[Analisi II] - Flusso di un campo vettoriale
Ciao a tutti!
ho fatto da poco l'esame di analisi II e mi è capitato il seguente esercizio:
assegnato il campo vettoriale $ F(x,y,z) = (x, y, z^2) $ calcolare il flusso di F uscente da $ delta T$ dove $T= {(x,y,z) : -1<= z <= -x^2 - y^2}
potreste farmi vedere come l'avreste svolto?
così vedo se mi trovo...
grazie mille
ho fatto da poco l'esame di analisi II e mi è capitato il seguente esercizio:
assegnato il campo vettoriale $ F(x,y,z) = (x, y, z^2) $ calcolare il flusso di F uscente da $ delta T$ dove $T= {(x,y,z) : -1<= z <= -x^2 - y^2}
potreste farmi vedere come l'avreste svolto?
così vedo se mi trovo...
grazie mille
Risposte
In linea di principio la cosa funziona al contrario : tu dici come l'hai risolto e qualche anima pia ti dice se hai fatto bene!
Ma stasera faccio un'eccezione : voglio smanettarci un po'...
Il flusso lo calcoliamo col teorema della divergenza :
$int int int div F dxdydz=oint F * N ds$
Il tutto si riduce al calcolo dell'integrale triplo al primo membro.
Il dominio a ben guardare è un paraboloide con conconcavità verso il basso sezionato da un piano orizzontale in z=-1, e questo semplifica di MOLTO, le cose.
Dunque z varia tra 0 e -1 mentre l'integrale doppio che rimane conviene farlo in coordinate polari o cilindriche.
$rho$ varierà tra 0 e 1 (perchè la sezione di massimo del paraboloide è una circonferenza unitaria) mentre $theta$ varia tra $0$ e $2pi$, ovviamente.
Determinati gli estremi per tutte le dimensioni, il gioco è bello che fatto : basta trovare banalmente la divergenza di F in $R^3$ e risolvere gli integrali singoli.
Possibile che questo esercizietto vale lo scritto di Analisi II ?
Ma stasera faccio un'eccezione : voglio smanettarci un po'...
Il flusso lo calcoliamo col teorema della divergenza :
$int int int div F dxdydz=oint F * N ds$
Il tutto si riduce al calcolo dell'integrale triplo al primo membro.
Il dominio a ben guardare è un paraboloide con conconcavità verso il basso sezionato da un piano orizzontale in z=-1, e questo semplifica di MOLTO, le cose.
Dunque z varia tra 0 e -1 mentre l'integrale doppio che rimane conviene farlo in coordinate polari o cilindriche.
$rho$ varierà tra 0 e 1 (perchè la sezione di massimo del paraboloide è una circonferenza unitaria) mentre $theta$ varia tra $0$ e $2pi$, ovviamente.
Determinati gli estremi per tutte le dimensioni, il gioco è bello che fatto : basta trovare banalmente la divergenza di F in $R^3$ e risolvere gli integrali singoli.
Possibile che questo esercizietto vale lo scritto di Analisi II ?
"spassky":
Possibile che questo esercizietto vale lo scritto di Analisi II ?
meglio il volume di una piramide... caro S********i
Prego?
effettivamente la mia frase è un pò sibillina... mi riferivo al fatto
che il mio caro prof di Analisi II (un certo S*********i) ci diede un
secondo esonero facilissimo (volume di una piramide)...
che il mio caro prof di Analisi II (un certo S*********i) ci diede un
secondo esonero facilissimo (volume di una piramide)...
ovviamente l'esame di analisi II non consisteva solo in quest'esercizio....ma in questo + altri 5!
Spassky , hai ragione, avrei dovuto postare la mia soluzione, ma non trovavo il foglio di brutta
, cmq grazie!
Allora...ora ti dico come ho fatto io:
mi trovo in tutto e per tutto con te ... ho fatto da subito il passaggio a coordinate polari, solo ke z a me varia tra $-1$ e $- rho^2$
l'integrale triplo mi viene $-16/15 pi$ , ti trovi?
Spassky , hai ragione, avrei dovuto postare la mia soluzione, ma non trovavo il foglio di brutta
, cmq grazie!Allora...ora ti dico come ho fatto io:
mi trovo in tutto e per tutto con te ... ho fatto da subito il passaggio a coordinate polari, solo ke z a me varia tra $-1$ e $- rho^2$
l'integrale triplo mi viene $-16/15 pi$ , ti trovi?
Ora mi chiedi troppo : i conti non li ho fatti...
La divergenza di F e' 2+2z ed il flusso $Phi$ uscente da $del T$ e' dato da :
$Phi=intintint_T(2+2z)dxdydz$
Passando a coordinate cilindriche risulta:
$Phi=int_0^(2pi)d theta int_0^1rhodrhoint_(-1)^(-rho^2)(2+2z)dz=pi/3$
Spero di essere io a sbagliare ma temo che,a parte il segno, tu abbia dimenticato
lo Jacobiano che occorre considerare nel cambio di riferimento.
karl
$Phi=intintint_T(2+2z)dxdydz$
Passando a coordinate cilindriche risulta:
$Phi=int_0^(2pi)d theta int_0^1rhodrhoint_(-1)^(-rho^2)(2+2z)dz=pi/3$
Spero di essere io a sbagliare ma temo che,a parte il segno, tu abbia dimenticato
lo Jacobiano che occorre considerare nel cambio di riferimento.
karl
Chiedo venia per il mio erroneo estremo superiore su z.
Rileggendo e confrontando mi rendo conto di aver scritto una castroneria: z ovviamente varia tra -1 e -$rho$ e non tra -1 e 0...
Rileggendo e confrontando mi rendo conto di aver scritto una castroneria: z ovviamente varia tra -1 e -$rho$ e non tra -1 e 0...
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