[Analisi II] Direzione normale al grafico f(x,y) nei due punti?
salve ragazzi, dopo aver superato algebra lineare con un buonissimo voto, anche grazie a voi, ora mi tocca studiare analisi II per la seconda parte del modulo, appunto "Algebra Lineare e Analisi II"
Dopo aver iniziato a guardare tutta la teoria ora ho deciso di fare qualche esercizio in previsione dell'esame a settembre. ecco quindi che sorgono le prime difficoltà, date anche dal fatto che non è facile immaginare solidi e funzioni in n variabili.
Uno dei primi esercizi che sono andato a vedere è come si calcola la direzione di massima pendenza di un grafico di funzione. se non ho capito male tale esercizio si calcola trovando il gradiente della funzione che sarà dato semplicemente dalle derivate secondo le variabili della funzione.
per esempio con la funzione \(\displaystyle f(x,y)=3x^2-xcosy \) per trovare la direzione di massima pendenza ascendente in (0,0) basta calcolare:
\(\displaystyle fx=6x-cosy \)
\(\displaystyle fy=xseny \)
di conseguenza
\(\displaystyle \bigtriangledown f(0,0)=\binom{-1}{0} \) quindi
\(\displaystyle \binom{x}{y}\binom{-1}{0}=-x+0y=0 \) =====>
\(\displaystyle \binom{x}{y}=\binom{0}{y}\Rightarrow \binom{0}{1} \)
fin qui ci sono o sbaglio qualcosa?
se sbaglio qualcosa, allora potrei sapere cosa sbaglio precisamente?
se invece è tutto corretto andiamo avanti, il dubbio infatti mi sorge quando devo calcolare la direzione Normale al grafico di f(x,y) nei punti x=... ed y=..., in questo caso di procede allo stesso modo? ovvero si calcola il gradiente? se si procede allo stesso modo questo vuol dire che la direzione di massima pendenza è anche quella normale al grafico giusto?
Scusate per le infinite domande. vi ringrazio moltissimo e spero di riuscire a passare anche questo esame con un buon voto come il primo, grazie al vostro aiuto!
Dopo aver iniziato a guardare tutta la teoria ora ho deciso di fare qualche esercizio in previsione dell'esame a settembre. ecco quindi che sorgono le prime difficoltà, date anche dal fatto che non è facile immaginare solidi e funzioni in n variabili.
Uno dei primi esercizi che sono andato a vedere è come si calcola la direzione di massima pendenza di un grafico di funzione. se non ho capito male tale esercizio si calcola trovando il gradiente della funzione che sarà dato semplicemente dalle derivate secondo le variabili della funzione.
per esempio con la funzione \(\displaystyle f(x,y)=3x^2-xcosy \) per trovare la direzione di massima pendenza ascendente in (0,0) basta calcolare:
\(\displaystyle fx=6x-cosy \)
\(\displaystyle fy=xseny \)
di conseguenza
\(\displaystyle \bigtriangledown f(0,0)=\binom{-1}{0} \) quindi
\(\displaystyle \binom{x}{y}\binom{-1}{0}=-x+0y=0 \) =====>
\(\displaystyle \binom{x}{y}=\binom{0}{y}\Rightarrow \binom{0}{1} \)
fin qui ci sono o sbaglio qualcosa?
se sbaglio qualcosa, allora potrei sapere cosa sbaglio precisamente?
se invece è tutto corretto andiamo avanti, il dubbio infatti mi sorge quando devo calcolare la direzione Normale al grafico di f(x,y) nei punti x=... ed y=..., in questo caso di procede allo stesso modo? ovvero si calcola il gradiente? se si procede allo stesso modo questo vuol dire che la direzione di massima pendenza è anche quella normale al grafico giusto?
Scusate per le infinite domande. vi ringrazio moltissimo e spero di riuscire a passare anche questo esame con un buon voto come il primo, grazie al vostro aiuto!
Risposte
Non ti seguo: la direzione di massima pendenza in un punto $(x_0,y_0)$ è $\nabla f(x_0,y_0)$. Poi dopo che fai?
scusate avevo preso un' esercizio in cui mi chiedeva anche una curva di livello di f(x,y) in (0,0), ho sbagliato, in tal caso la direzione di massima pendenza risulta semplicemente (-1,0)
Ok, ora ci siamo. Ora, per quanto riguarda la direzione normale al grafico di $f$ in un punto $(x_0,y_0)$: ricorda che l'equazione del piano tangente in tale punto è
$$z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$$
pertanto il vettore ortogonale al piano tangente è $(f_x,f_y,-1)$
$$z-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$$
pertanto il vettore ortogonale al piano tangente è $(f_x,f_y,-1)$
bene, non capisco tuttavia il calcolo fatto. quel -1 si riferisce a fz? e come mai è proprio uguale a -1?
L'equazione generale di un piano è data da $ax+by+cz+d=0$ dove $(a,b,c)$ è il vettore ortogonale ad esso. Nel nostro caso possiamo scrivere
$$z-f=f_x\cdot(x-x_0)+f_y\cdot(y-y_0)$$
(ho omesso la dipendenza dal punto per fare prima) da cui ordinando
$$f_x\cdot x+f_y\cdot y-z+(f-x_0 f_x-y_0 f_y)=0$$
per cui $a=f_x,\ b=f_y,\ c=-1,\ d=f-x_0 f_x-y_0 f_y$.
$$z-f=f_x\cdot(x-x_0)+f_y\cdot(y-y_0)$$
(ho omesso la dipendenza dal punto per fare prima) da cui ordinando
$$f_x\cdot x+f_y\cdot y-z+(f-x_0 f_x-y_0 f_y)=0$$
per cui $a=f_x,\ b=f_y,\ c=-1,\ d=f-x_0 f_x-y_0 f_y$.
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