[Analisi II] Calcolo integrale, secondo me è corretto ma la soluzione è diversa:

[Zodiac1]

Salve ragazzi, oggi vi propongo un esercizio sul calcolo di un integrale, ho risolto tale integrale e il risultato (insieme al procedimento) mi sembra corretto, tuttavia secondo la soluzione del prof, il mio risultato è sbagliato, passiamo all'esercizio:

Calcolare $ int_(T)^() 1/sqrt(x^2+y^2) dt $ ove T e la regione del primo quadrante sopra la bisettrice y = x
e sotto la retta y = 1

Ok, inizio la risoluzione:

dal testo dell'esercizio, capisco che passando in coordinate polari, avrò un angolo $ theta $ compreso tra pi/2 e pi/4 ( $ pi/4 < theta Rho invece varierà tra 0 e 1 ($ 0
Nel calcolo dell'integrale quindi passo in coordinate polari, senza dimenticarmi dello jacobiano della trasformazione:
$ int_(pi/4)^(pi/2) int_(0)^(1) 1/sqrt(rho^2)rho drho d theta = int_(pi/4)^(pi/2) int_(0)^(1) 1 drho d theta $
da quì quindi esce fuori $ rho( (1), (0) ) theta( (pi/2), (pi/4) ) $
ovvero $ pi/2-pi/4=pi/4 $

Secondo il prof invece il risultato è:
\( -\lg \tan (\pi/8) \)

Ora, non voglio dire che è il prof ad aver sbagliato, anzi non lo penso proprio, ma semplicemente non riesco a capire dovè il mio errore, qualcuno può illuminarmi?
Grazie a tutti!!!

[ciampax]

No, sbagli a determinare come sia fatto $\rho$. Il dominio di integrazione è un triangolo, limitato in alto da $y=1$ e in basso da $y=x$. Pertanto, se scrivi la limitazione corretta per $y$, $x\le y\le 1$ e la passi in coordinate polari otterrai
$$\rho\cos\theta\le\rho\sin\theta\le 1$$
Ora, quale usare? Osservando il triangolo risulta che $\theta\in[\pi/4,\pi/2]$ come dicevi, e che il "raggio" è limitato solo dalla retta in alto, in quanto in basso può anche valere zero. Ne segue che va usata la seconda disuguaglianza tra quelle scritte prima e pertanto
$$\rho\le\frac{1}{\sin\theta}$$

[Zodiac1]

Grazie mille!!! infatti immaginavo fosse rho ad avere estremi di integrazione sbagliati perchè tetha non poteva non variare tra pi/2 e pi/4!