[Analisi II] Area regione di piano contenuta nella circonferenza unitaria?
Vi posto questo esercizio sugli integrali di superficie che non riesco a risolvere:
calcolare l'area della porzione di regione {\(\displaystyle \rho ,\Theta : \rho <\Theta \)} contenuta nella circonferenza unitaria centrata nell'origine
come di consueto vi mostro il mio procedimento:
abbiamo un insieme in cui \(\displaystyle \rho \) deve essere minore di tetha, essendo però sempre positivo, esso varierà tra 0 e \(\displaystyle \Theta \):
\(\displaystyle 0 < \rho <\Theta \)
inoltre non essendo limitata, \(\displaystyle \Theta \) varierà tra 0 e 2pi:
\(\displaystyle 0 < \Theta <2 \pi \)
essendo una circonferenza unitaria, la funzione da integrare è 1, per lo jacobiano della funzione (\(\displaystyle \rho \)) esce fuori:
\(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} d \Theta \int_{0}^{\Theta } \rho d\rho \) \(\displaystyle = \int_{0}^{2\pi} \left ( \frac{\rho ^2}{2} \right )_{0}^{\Theta } d \Theta \)\(\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\frac{\Theta ^2}{2} d \Theta \) \(\displaystyle = \frac{1}{2} \left ( \frac{\Theta ^3}{3} \right )_{0}^{2\pi} \)\(\displaystyle =\frac{1}{2}\frac{8\pi^3}{3}=\frac{4\pi^3}{3} \).
Spero abbiate capito i passaggi che ho fatto. il risultato corretto comunque è:
\(\displaystyle \pi-\frac{1}{3} \)
calcolare l'area della porzione di regione {\(\displaystyle \rho ,\Theta : \rho <\Theta \)} contenuta nella circonferenza unitaria centrata nell'origine
come di consueto vi mostro il mio procedimento:
abbiamo un insieme in cui \(\displaystyle \rho \) deve essere minore di tetha, essendo però sempre positivo, esso varierà tra 0 e \(\displaystyle \Theta \):
\(\displaystyle 0 < \rho <\Theta \)
inoltre non essendo limitata, \(\displaystyle \Theta \) varierà tra 0 e 2pi:
\(\displaystyle 0 < \Theta <2 \pi \)
essendo una circonferenza unitaria, la funzione da integrare è 1, per lo jacobiano della funzione (\(\displaystyle \rho \)) esce fuori:
\(\displaystyle \int_{0}^{2\pi} d \Theta \int_{0}^{\Theta } \rho d\rho \) \(\displaystyle = \int_{0}^{2\pi} \left ( \frac{\rho ^2}{2} \right )_{0}^{\Theta } d \Theta \)\(\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\frac{\Theta ^2}{2} d \Theta \) \(\displaystyle = \frac{1}{2} \left ( \frac{\Theta ^3}{3} \right )_{0}^{2\pi} \)\(\displaystyle =\frac{1}{2}\frac{8\pi^3}{3}=\frac{4\pi^3}{3} \).
Spero abbiate capito i passaggi che ho fatto. il risultato corretto comunque è:
\(\displaystyle \pi-\frac{1}{3} \)
Risposte
fammi vedere se ho capito bene: \(\displaystyle \rho \) varia tra 0 e 1 perchè ci troviamo nel cerchio unitario mentre \(\displaystyle \Theta \) varia anch'essa tra 0 ed 1 perchè è uguale a \(\displaystyle \rho \) (infatti c'è la spirale di archimede). è giusto?
Oddio, hi letto di fretta e ho visto rho al posto di theta, quindi le due curve si intersecano in theta uguale ad 1 ed essendo rho uguale a theta, allora anche rho è uguale ad uno?
Effettivamente ho molta confusione riguardo agli integrali in coordinate polari, cercherò qualche dispensa per rivedermeli per bene. Quello che non ho capito in questo caso è che theta va da 0 ad 1. ok ci sono che un angolo parte dal valore 0, ma poi in quanto angolo, non dovrebbe assumere valori tra 0 e 2pi?
quindi intendi questo?:
[img]http://i.imgur.com/QT573hv.jpg?1[/img]
Scusa, sarò stupido io ma non riesco a capire come fa \(\displaystyle \Theta \) ad essere 1.
in ogni modo, in questo caso l'angolo va da zero fino al valore dell'intersezione (uno)
quindi intendi questo?:
[img]http://i.imgur.com/QT573hv.jpg?1[/img]
Scusa, sarò stupido io ma non riesco a capire come fa \(\displaystyle \Theta \) ad essere 1.
ok, ci siamo. ora ho capito tutto quanto!
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