[Analisi II] Area Porzione di grafico?
Ragazzi oggi vi chiedo il vostro aiuto con degli integrali, praticamente nella parte scritta dell'esame di analisi II avrò principalmente da calcolare integrali e la alcuni degli esercizi più "Quotati" sono del tipo: Calcolare l'area della porzione di grafico di F(x,y)=... interna/sovrastante/sottostante (ecc...) una data figura geometrica (esempio: sovrastante il cilindro, interna alla sfera unitaria o altri.)
Tuttavia non mi ricordo molto bene il procedimento generale di come si risolve l'esercizio (ebbene mentre seguivo le lezioni sapevo fare abbastanza agilmente questi esercizi ma poi è arrivato l'appello estivo e ho dovuto preparare algebra abbandonando completamente analisi II quindi ora non mi ricordo praticamente nulla!)
Mi ricordo che si lavora con gli integrali doppi, infatti (vado a memoria) si cerca sempre di trasformare il tutto in coordinate polare (ro e tetha) in modo da lavorare più agilmente e soprattutto in una sola variabile. per fare ciò però bisogna trovare gli estremi di integrazione di ro e di tetha (per tethe se non ricordo male è molto semplice perchè se si tratta di una sfera sara 0-2pi, per una semisfera 0-pi, per un cilindro 0-2pi e così via) mentre per ro la situazione è più complessa giusto?
Per semplificare le cose prendiamo un esercizio:
L’area della porzione di grafico di \(\displaystyle z = xy \) (paraboloide iperbolico) sovrastante il cerchio
\(\displaystyle x^2 + y^2 ≤ 2 \)
Ora come ho già cercato di dire, dobbiamo cercare di trasformare i nostri integrali in 3 variabili (x,y,z) in integrali con coordinate polari. per fare ciò prima si trovano gli estremi di integrazione di tetha e di ro e successivamente si procede alla risoluzione degli integrali. per tetha dovrebbe essere semplice: essa varia tra 0 e 2pi perchè si tratta di un cerchio giusto?, mentre per ro? io infatti mi blocco proprio in questo punto, non riesco a ricordare quali calcoli devo fare per trovare gli estremi di integrazione di ro, e quello che mi fa più rabbia e che prima sapevo farlo!
Mi scuso per il mio sfogo e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto che mi darete...
Tuttavia non mi ricordo molto bene il procedimento generale di come si risolve l'esercizio (ebbene mentre seguivo le lezioni sapevo fare abbastanza agilmente questi esercizi ma poi è arrivato l'appello estivo e ho dovuto preparare algebra abbandonando completamente analisi II quindi ora non mi ricordo praticamente nulla!)
Mi ricordo che si lavora con gli integrali doppi, infatti (vado a memoria) si cerca sempre di trasformare il tutto in coordinate polare (ro e tetha) in modo da lavorare più agilmente e soprattutto in una sola variabile. per fare ciò però bisogna trovare gli estremi di integrazione di ro e di tetha (per tethe se non ricordo male è molto semplice perchè se si tratta di una sfera sara 0-2pi, per una semisfera 0-pi, per un cilindro 0-2pi e così via) mentre per ro la situazione è più complessa giusto?
Per semplificare le cose prendiamo un esercizio:
L’area della porzione di grafico di \(\displaystyle z = xy \) (paraboloide iperbolico) sovrastante il cerchio
\(\displaystyle x^2 + y^2 ≤ 2 \)
Ora come ho già cercato di dire, dobbiamo cercare di trasformare i nostri integrali in 3 variabili (x,y,z) in integrali con coordinate polari. per fare ciò prima si trovano gli estremi di integrazione di tetha e di ro e successivamente si procede alla risoluzione degli integrali. per tetha dovrebbe essere semplice: essa varia tra 0 e 2pi perchè si tratta di un cerchio giusto?, mentre per ro? io infatti mi blocco proprio in questo punto, non riesco a ricordare quali calcoli devo fare per trovare gli estremi di integrazione di ro, e quello che mi fa più rabbia e che prima sapevo farlo!
Mi scuso per il mio sfogo e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto che mi darete...
Risposte
Se si trattasse di "volume", allora basterebbe calcolare l'integrale della funzione data sul dominio nel piano. Ma qui parliamo di "area" e quindi ciò che devi fare è il calcolo di un integrale di superficie. Sai come sono definiti?
no, non lo ricordo. purtroppo il problema è proprio che ho scordato praticamente ogni cosa.
Stavo riguardando gli esercizi fatti a lezione e un po di teoria, da quello che mi pare di capire l'integrale di superficie si calcola come integrale di 1+f(x,y) giusto?
Stavo riguardando gli esercizi fatti a lezione e un po di teoria, da quello che mi pare di capire l'integrale di superficie si calcola come integrale di 1+f(x,y) giusto?
?????E perché mai? Prova a rileggere qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ ... di_2-forme
Nel caso ti spiego.
Nel caso ti spiego.
ok, ho letto ma ancora riesco a capire come riuscire a risolvere l'esercizio applicando la teoria...
Dunque, ciò che vuoi fare è calcolare l'area della superficie $z=xy$ sapendo che $x,y$ variano all'interno del cerchio dato. Dal momento che per applicare le formule contenute nel link, hai bisogno di parametrizzare la superficie, la cosa migliore è farlo in base alle informazioni presenti. Osserva che le coordinate $x,y$ possono essere parametrizzate in forma polare con
$$x=u\cos v,\quad y=u\sin v,\qquad u\in[0,2],\ v\in[0,2\pi]$$
e in tal modo la forma parametrica della superficie ristretta al dominio dato risulta
$$r(u,v)=(u\cos v, u\sin v, u^2\sin v\cos v)$$
Abbiamo allora
$$r_u=(\cos v,\sin v,2u\sin v\cos v),\quad r_v=(-u\sin v,u\cos v,u^2(\cos^2 v-\sin^2 v))$$
da cui
$$|r_u\times r_v|=|(-u^2\sin v,-u^2\cos v,u)|=\sqrt{u^4\sin^2 v+u^4\cos^2 v+u^2}=u\sqrt{u^2+1}$$
Abbiamo allora per la superficie cercata
$$A=\int_S d\sigma=\int_0^2\int_0^{2\pi} u\sqrt{u^2+1}\ dv\ du=2\pi\int_0^2 u\sqrt{u^2+1}\ du=\\ 2\pi\left[\frac{1}{3}(u^2+1)^{3/2}\right]_0^2=\frac{2\pi}{3}(5^{3/2}-1)$$
$$x=u\cos v,\quad y=u\sin v,\qquad u\in[0,2],\ v\in[0,2\pi]$$
e in tal modo la forma parametrica della superficie ristretta al dominio dato risulta
$$r(u,v)=(u\cos v, u\sin v, u^2\sin v\cos v)$$
Abbiamo allora
$$r_u=(\cos v,\sin v,2u\sin v\cos v),\quad r_v=(-u\sin v,u\cos v,u^2(\cos^2 v-\sin^2 v))$$
da cui
$$|r_u\times r_v|=|(-u^2\sin v,-u^2\cos v,u)|=\sqrt{u^4\sin^2 v+u^4\cos^2 v+u^2}=u\sqrt{u^2+1}$$
Abbiamo allora per la superficie cercata
$$A=\int_S d\sigma=\int_0^2\int_0^{2\pi} u\sqrt{u^2+1}\ dv\ du=2\pi\int_0^2 u\sqrt{u^2+1}\ du=\\ 2\pi\left[\frac{1}{3}(u^2+1)^{3/2}\right]_0^2=\frac{2\pi}{3}(5^{3/2}-1)$$
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