[Analisi II] Area porzione di cilindro sovrastante il cerchio unitario

[Zodiac1]

Salve ragazzi, l'esercizio che stavo provando a risolvere oggi, senza successo è il seguente:
Area della porzione di cilindro $ sqrt(1-x^2) $ sovrastante il cerchio unitario.

Iniziamo con il calcolo degli estremi di integrazione:
l'esercizio dice "area della porzione di cilindro sovrastante il cerchio unitario, quindi scrivo questo:

$ sqrt(1-x^2)>x^2+y^2-1 $ ora, prima di tutto trasformo in coordinate polari, e successivamente elevo al quadrato:

$ 1-rho^2cos^2theta>(rho^2-1)^2 rarr rho^2cos^2theta-rho^4-2rho^2>0 rarr $ $ rho^2(cos^2theta-rho^2-2)>0 rarr 0
Non essendoci restrizioni per theta, esso varia tra 0 e 2pi.
Ora vado a calcolare l'integrale:

$ int_(0)^(2pi) d theta int_(0)^(sqrt(cos^2theta-2))sqrt(1-rho^2cos^2theta) rhodrho $

A questo punto però non saprei che fare, infatti fuori dalla radice ho la derivata di rho ma non quella del prodotto tra rho e cos(theta), quindi mi blocco e non riesco ad andare avanti.

[poll89]

ciao, scusami ma non ho proprio capito la consegna, mi servono dei chiarimenti. Cosa ti richiede l'esercizio? Devi calcolare l'area della superficie cilindrica costruita sopra il cerchio unitario (ovvero l'area della sup cilindrica che abbia tale cerchio come base)? Cos'è quel $ sqrt(1-x^2) $?

Guarda comunque che l'integrale finale è sbagliato: non puoi togliere di mezzo $d theta$ ma lasciare $cos^2(theta)$ indietro con $rho$ cancella tutto, spiegami bene cosa vuole il problema e quali dati iniziale ci siano e ti guiderò se ne sarò in grado

[Zodiac1]

Guarda l'esercizio del professore recita proprio "Calcolare L'area della porzione di Cilindro di equazione $ sqrt(1-x^2) $ sovrastante il cerchio unitario.
Di conseguenza quel $ sqrt(1-x^2) $ è l'equazione del cilindro e come puoi vedere, dalla consegna il prof non aggiunge altri dettagli, comunque l'esercizio dovrebbe essere: l'area della porzione di cilindro (che ha quell'equazione) che si trova al di sopra del cerchio unitario.
Spero di essere stato più chiaro ora.

[ciampax]

Vado ad intuito: credo che la richiesta sia calcolare l'area di $z=\sqrt{1-x^2}$ sopra il cerchio unitario, per cui un integrale di superficie in cui le variabili $x,y$ varino all'interno di tale cerchio.
Dico questo perché, se il cilindro fosse stato $y=\sqrt{1-x^2}$(che poi è una porzione di cilindro, manco tutto quanto) avresti dovuto calcolare l'area di una superficie infinita (infatti la situazione sarebbe stata di prendere proprio il cilindro che ha come base il cerchio unitario e calcolare metà della superficie laterale di tutto questo cilindro, con altezza infinita).

Certo che scriverlo meglio, il testo, non sarebbe male (parlo proprio di chi ha fornito la traccia).

[poll89]

ok, visto che non riesco a dormire guarderò l'esercizio, che con lo spunto di ciampax forse ci cavo qualcosa: ho plottato $z=sqrt(1-x^2)$ ed è un mezzo cilindro ( che chiamerò quindi MC con poca fantasia ) con asse sul piano xy ( qui trovate l'immagine).

In sintesi sto cercando l'area della proiezione del cerchio unitario sulla superficie $z=sqrt(1-x^2)$, quindi l'unica difficoltà è descrivere tale superficie con un sistema di coordinate che dia un integrale comodo da calcolare. Anzi, in realtà puoi anche fare a meno di calcolare integrali: basta che calcoli la matrice della metrica su MC e poi la usi per passare dall'area del cerchio unitario in $RR^2$ a quella della sua immagine su MC.
Se questa strada non ti piace allora puoi comunque usare le coordinate di cui parlo sopra per descrivere la superficie, basta trovare i loro intervalli di definizione e poi calcolare l'integrale. Le due strade sono equivalenti.
Avevo pensato alle coordinate
$ { ( x = cos(theta) ),( y = sin(theta) ),( z = sqrt(1-x^2) = sin(theta) ):} $
con opportune restrizioni su $theta$, ma i raggi sono unitari e mi ritrovo con una sola variabile, non è che mi piaccia molto la cosa... mi sa che ora sono troppo cotto per capire comunque è qualcosa del genere. Trovato il sistema di coordinate il resto è davvero standard.

Comunque sono d'accordo, questo professore dovrebbe davvero spiegarsi meglio nei suoi testi.

[ciampax]

Poll89, l'idea è giusta, ma quello che fai è parametrizzare la circonferenza e non il cerchio. Ciò che bisogna fare è questo: poiché $x,y$ variano nel cerchio che può essere parametrizzato da coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$ con $\rho\in[0,1],\ \theta\in[0,2\pi]$, una rappresentazione parametrica della superficie è la seguente
$$\vec{r}(u,v)=(u\cos v, u\sin v,\sqrt{1-u^2\cos^2 v}),\qquad u\in[0,1],\ v\in[0,2\pi]$$
Dal momento che, data una superficie $\Sigma$ con parametrizzazione $\vec{r}:D\rightarrow\mathbb{R}^3$ l'area di tale superficie è data dall'integrale
$$A=\iint_D\|\vec{r}_u\wedge\vec{r}_v\|\ du\ dv=\iint_D\sqrt{EG-F^2}\ du\ dv$$
($\wedge$ è il prosotto vettoriale e $\|\ \|$ la norma di un vettore) dove per definizione
$$E=\vec{r}_u\bullet\vec{r}_u,\qquad F=\vec{r}_u\bullet\vec{r}_v,\qquad G=\vec{r}_v\bullet\vec{r}_v$$
(il punto è il prodotto scalare) abbiamo
$$\vec{r}_u=\left(\cos v,\sin v,-\frac{u\cos^2 v}{\sqrt{1-u^2\cos^2 v}}\right),\qquad \vec{r}_v=\left(-u\sin v, u\cos v,\frac{u^2\cos v\sin v}{\sqrt{1-u^2\cos^2 v}}\right)$$
da cui
$$E=\cos^2 v+\sin^2 v+\frac{u^2\cos^4 v}{1-u^2\cos^2 v}=1+\frac{u^2\cos^4 v}{1-u^2\cos^2 v}=\frac{1-u^2\cos^2 v+u^2\cos^4 v}{1-u^2\cos^2 v}=\\ \frac{1-u^2\cos^2 v(1-\cos^2 v)}{1-u^2\cos^2 v}=\frac{1-u^2\cos^2 v\sin^2 v}{1-u^2\cos^2 v}$$
e
$$F=-u\sin v\cos v+u\sin v\cos v-\frac{u^3\cos^3 v\sin v}{1-u^2\cos^2 v}=-\frac{u^3\cos^3 v\sin v}{1-u^2\cos^2 v}$$
e infine
$$G=u^2\sin^2 v+u^2\cos^2 v+\frac{u^4\cos^2 v\sin^2 v}{1-u^2\cos^2 v}=u^2+\frac{u^4\cos^2 v\sin^2 v}{1-u^2\cos^2 v}=\\ \frac{u^2[1-u^2\cos^2 v+u^2\cos^2 v\sin^2 v]}{1-u^2\cos^2 v}=\frac{u^2[1-u^2\cos^2 v(1-\sin^2 v)]}{1-u^2\cos^2 v}=\frac{u^2(1-u^2\cos^4 v)}{1-u^2\cos^2 v}$$
Pertanto
$$EG-F^2=\frac{u^2-u^4\cos^4 v-u^4\cos^2v\sin^2 v+u^6\cos^6 v\sin^2 v-u^6\cos^6 v\sin^2 v}{(1-u^2\cos^2 v)^2}=\\ \frac{u^2[1-u^2\cos^2 v(\cos^2 v+\sin^2 v)]}{(1-u^2\cos^2 v)^2}=\frac{u^2[1-u^2\cos^2 v]}{(1-u^2\cos^2 v)^2}=\frac{u^2}{1-u^2\cos^2 v}$$
Per questioni di simmetria, dal momento che la circonferenza di base ha simmetria circolare, l'area che ci serve è pari a quattro volte l'area della sola parte che copre il primo quarto di cerchio, cioè per $v\in[0,\pi/2]$: in definitiva, è sufficiente calcolare il seguente integrale
$$4\int_0^{\pi/2}\int_0^{1}\frac{u}{\sqrt{1-u^2\cos^2 v}}\ du\ dv=4\int_0^{\pi/2}\left[-\frac{\sqrt{1-u^2\cos^2 v}}{\cos^2 v}\right]_0^1\ du\ dv=\\ 4\int_0^{\pi/2}\left[\frac{-\sqrt{1-\cos^2 v}+1}{\cos^2 v}\right]\ dv=4\int_0^{\pi/2}\frac{1-\sin v}{\cos^2 v}\ dv$$
poiché sul dominio di integrazione $\sqrt{1-\cos^2 v}=\sin v\ge 0$. Quest'ultimo integrale è un integrale improprio: pertanto possiamo calcolarlo al modo seguente
$$\lim_{a\to\pi/2^-}4\int_0^a\left(\frac{1}{\cos^2 v}-\frac{\sin v}{\cos^2 v}\right)\ dv=\lim_{a\to\pi/2^-} 4\left[\tan v+\frac{1}{\cos v}\right]_0^a=\\ \lim_{a\to\pi/2^-}4\left(\tan a+\frac{1}{\cos a}-1\right)=\lim_{a\to\pi/2^-} 4\frac{\sin a-\cos a+1}{\cos a}=$$
applicando de l'Hopital (solo per fare prima)
$$=\lim_{a\to\pi/2^-} 4\frac{\cos a+\sin a}{\sin a}=4$$