[Analisi II]

[Riri28]

Salve ragazzi/e.
Dal libro di Analisi II stavo studiando i massimi e minimi delle funzioni di due variabili.
Il prof ha riportato un esempio dove studia questa funzione f(x,y) = xy(2x+y-2) nel triangolo di vertici A=(0,0) , B=(1,0) e C=(0,2).
Fino allo studio dei punti e delle equazioni parametriche dei tre segmenti mi trovo.
Dopodichè si deve studiare la funzione su questi tre segmenti e così come l'esempio mi trovo che la funzione si annulla su tutti e tre i segmenti:
f(t,0)=0
f(t,-2t+2)=0
f(0,t)=0
e il prof scrive:

dunque f=0 sulla frontiera, allora tutti i punti della frontiera sono punti di massimo assoluto.

mi perdo in questa giustificazione. Dallo studio di funzione sui punti interni ottengo che (1/3, 2/3) è di minimo relativo.proprio per f.

Mi aiutate a capire come comportarmi in questa situazione?
Grazie mille!

[comariob]

Intervengo perchè mi trovo bloccato in un problema dello stesso tipo (individuazione punti critici per funzione vincolata ai vertici di un triangolo), solo che il mio problema è proprio al principio!

Innanzitutto è bene determinare i punti critici di f appartenenti all'interno di T, annullando il gradiente
di f. In questo caso si scopre che l'unico punto che soddisfa tali requisiti ha coordinate $(1/3$,$2/3)$.

Primo dubbio: comprendo il concetto, ma non il procedimento! Come si svolge l'individuazione di questo punto?

Ora, il bordo $∂T$ del triangolo, al di fuori dei tre vertici, consta di tre lati li, con $i=1,2,3$, dove si parametrizza regolarmente in modo naturale.

Anche qui mi sperdo: si vogliono ottenere le eq. parametriche del triangolo partendo dai vertici, giusto?

Le eq. parametriche non dovrebbero essere: ${ ( X=Xa+(Xb-Xa)t+(Xc-Xa)u), ( Y=Ya + (Yb-Ya)t+(Yc-Ya)u ):}$
Se così fosse, non capisco come si arrivino alle coordinate delle derivate parziali
Troviamo dunque i punti critici per f lungo il bordo, imponendo che le derivate

\[ \begin{aligned} & l_1 : \frac{d}{dx}f\left(x,\,0\right) = 0 \; ; \\ & l_2 : \frac{d}{dx}f\left(x,\,-2x+2\right) = 0 \; ; \\ & l_3 : \frac{d}{dx}f\left(0,\,y\right) = 0 \; ; \end{aligned} \]

Potere chiarirmi questo dubbio?
Grazie.

[ostrogoto1]

Nel caso del primo messaggio oltre alle soluzioni canoniche illustrate nel successivo messaggio, si vede immediatamente quanto affermato dal prof essendo:
$ f(x,y) = xy(2x+y-2) <0 $ all'interno del triangolo dato essendo tali punti sotto la retta che unisce B e C che per inciso e' proprio $ 2x+y-2 =0 $.
Quindi essendo $ f(x,y)=0 $ sul bordo del triangolo segue che i punti del bordo sono di massimo.