[Analisi I] Trovare soluzioni di equazioni

[Maxoi]

Ciao a tutti, nelle tracce di esame degli scorsi appelli capita spesso questo tipo di esercizi:
"Dire se esiste una soluzione reale della seguente equazione. Se esiste, è unica?
x^10\(\displaystyle -8x^8+x^2+12=0 \) "
Io ho provato verificando i limiti agli estremi del dominio, che risultano tender entrambi a + infinito. Ho pensato anche di derivare la funzione per capire dove fossero eventuali minimi, perchè nel caso le loro ordinate fossero state maggiori di zero tracciando un grafico generico sarebbe stato evidente l'assenza di soluzioni. Facendo la derivata prima però, anch'essa è difficile da studiare, quindi come procedo?
Grazie

[gio73]

Ciao

Probabilmente c'è un metodo più elegante, ma io farei così:

la funzione che associamo al nostro polinomio è $f(x)=x^10-8x^8+x^2+12$, che è definita, continua e derivabile su tutto $RR$, notiamo che gli esponenti sono tutti pari di conseguenza $f(x)=f(-x)$, cioè la funzione è pari, simmetrica rispetto all'asse y, se ha uno zero e non corrisponde all'origine non è unico. Come hai notato tu agli estremi $+-oo$, è positiva, quindi se riusciamo a trovare dei valori per cui è negativa siamo certi che incontrerà l'asse delle x. Concentriamoci solo sul semiasse positivo (tanto è pari, no?) e scegliamo dei numeri facili tipo $0, 1, 2$
$f(0)=+12$
niente da fare
$f(1)=1-8-1+12=+6$
accidenti... ultimo tentativo
$f(2)=2^10-8*2^8+2^2+12$

ora qui i conti si fanno complicati e non ho voglia di tirar fuori calcolatrici o altro, sicché uso l'ingegno
$8=2^3$ quindi $8*2^8=2^3*2^8=2^11$
quindi devo fare $2^10-2^11$
ora $2^11$ è il doppio di $2^10$ e se faccio la loro differenza otterrò $2^10$
quindi $2^10-2^11=-2^10$
che senz'altro in valore assoluto supera il misero $2^2+12=4+12=16=2^4$
ed ho trovato il valore negativo che cercavo per dire che esistono almeno 4 soluzioni reali e distinte della nostra equazione

volendoli fare per forza i conti
$f(2)=-1024+16=-1008$

[Maxoi]

"gio73":Ciao

Probabilmente c'è un metodo più elegante, ma io farei così:

la funzione che associamo al nostro polinomio è $f(x)=x^10-8x^8+x^2+12$, che è definita, continua e derivabile su tutto $RR$, notiamo che gli esponenti sono tutti pari di conseguenza $f(x)=f(-x)$, cioè la funzione è pari, simmetrica rispetto all'asse y, se ha uno zero e non corrisponde all'origine non è unico. Come hai notato tu agli estremi $+-oo$, è positiva, quindi se riusciamo a trovare dei valori per cui è negativa siamo certi che incontrerà l'asse delle x. Concentriamoci solo sul semiasse positivo (tanto è pari, no?) e scegliamo dei numeri facili tipo $0, 1, 2$
$f(0)=+12$
niente da fare
$f(1)=1-8-1+12=+6$
accidenti... ultimo tentativo
$f(2)=2^10-8*2^8+2^2+12$

ora qui i conti si fanno complicati e non ho voglia di tirar fuori calcolatrici o altro, sicché uso l'ingegno
$8=2^3$ quindi $8*2^8=2^3*2^8=2^11$
quindi devo fare $2^10-2^11$
ora $2^11$ è il doppio di $2^10$ e se faccio la loro differenza otterrò $2^10$
quindi $2^10-2^11=-2^10$
che senz'altro in valore assoluto supera il misero $2^2+12=4+12=16=2^4$
ed ho trovato il valore negativo che cercavo per dire che esistono almeno 4 soluzioni reali e distinte della nostra equazione

volendoli fare per forza i conti
$f(2)=-1024+16=-1008$

Ti ringrazio per la chiarissima risposta, ma abbiamo avuto "fortuna" che è bastato arrivare a 3 per trovare un valore negativo, in una funzione in cui magari il valore negativo si trova in corrispondenza di un numero grande, non c'è un metodo per evitare di fare tutte queste prove?

[porzio1]

si potrebbe fare così
il problema equivale a trovare in quanti punti si intersecano i grafici delle funzioni $g(x)=x^2+12$ e $h(x)=8x^8-x^10$
il grafico di g(x) è presto disegnato perchè è una parabola con concavità verso l'alto e vertice $V(0,12)$
lo studio di h(x) è semplice perchè la sua derivata prima è molto "maneggevole"
essendo h(x) e g(x) pari basta concentrarsi su $[0,+infty]$