[Analisi I ] Problema di Cauchy
Se qualche buon uomo mi da una mano io non riesco a capire dove sbattere la testa, il differenziale mi sembra del tipo y'+f(x)=g(x) ma comunque non mi smuovo di molto.
Vi ringrazio
Risposte
E che sarebbe quella forma? L'equazione è a variabili separabili.
"ciampax":
E che sarebbe quella forma? L'equazione è a variabili separabili.
Quindi come si risolve?
Io pensavo di potermi ricondurre all'altro tipo effettuando la moltiplicazione per $6x^2
Esiste un metodo di risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili, ovvero quelle che si possono scrivere in questa forma \[y'(x)=g(x)f(y(x))\]
La tua equazione è chiaramente di questo tipo. La soluzione, fatte le opportune verifiche, si ottiene nel modo seguente:
\[\int\frac{dy}{f(y)}=\int g(x)dx+c\]
La tua equazione è chiaramente di questo tipo. La soluzione, fatte le opportune verifiche, si ottiene nel modo seguente:
\[\int\frac{dy}{f(y)}=\int g(x)dx+c\]
"maxsiviero":
Esiste un metodo di risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili, ovvero quelle che si possono scrivere in questa forma \[y'(x)=g(x)f(y(x))\]
La tua equazione è chiaramente di questo tipo. La soluzione, fatte le opportune verifiche, si ottiene nel modo seguente:
\[\int\frac{dy}{f(y)}=\int g(x)dx+c\]
Ciao avevo gia provato questo metodo ma senza trovare il risultato, probabilmente un mio errore nei calcoli allora.
grazie
\(\int \frac{dy}{1-7e^{-y}}=\ln(7-e^{y})\)
\(\int 6x^{2}dx=2x^{3}+c\)
Quindi la soluzione sarebbe:
\(\ln(7-e^{y})=2x^{3}+c\)
A questo punto puoi concludere.
\(\int 6x^{2}dx=2x^{3}+c\)
Quindi la soluzione sarebbe:
\(\ln(7-e^{y})=2x^{3}+c\)
A questo punto puoi concludere.
"maxsiviero":
\(\int \frac{dy}{1-7e^{-y}}=\ln(7-e^{y})\)
Mia ignoranza ma per poter risolvere in questo modo l'integrale non dovrei avere $(y')/(y)$ ?quindi la derivata di $1-7e^{-y}$
ti ringrazio molto
\(\int\frac{dy}{1-7e^{-y}}\)
Uso la sostituzione \(s=e^{-y}\) quindi \(ds=-e^{-y}dy\) e \(dy=-\frac{ds}{s}\)
L'integrale diventa
\(-\int\frac{ds}{(1-7s)s}=-\int(\frac{1}{s}-\frac{7}{7s-1})ds=-(\int\frac{ds}{s}-7\int\frac{ds}{7s-1})=\ln(7s-1)-\ln(s)\)
Sostituendo al contrario otteniamo
\(\ln(7e^{-y}-1)-\ln(e^{-y})=\ln\frac{7e^{-y}-1}{e^{-y}}=\ln(7-e^{y})\)
Uso la sostituzione \(s=e^{-y}\) quindi \(ds=-e^{-y}dy\) e \(dy=-\frac{ds}{s}\)
L'integrale diventa
\(-\int\frac{ds}{(1-7s)s}=-\int(\frac{1}{s}-\frac{7}{7s-1})ds=-(\int\frac{ds}{s}-7\int\frac{ds}{7s-1})=\ln(7s-1)-\ln(s)\)
Sostituendo al contrario otteniamo
\(\ln(7e^{-y}-1)-\ln(e^{-y})=\ln\frac{7e^{-y}-1}{e^{-y}}=\ln(7-e^{y})\)
"maxsiviero":
\(\int\frac{dy}{1-7e^{-y}}\)
Uso la sostituzione \(s=e^{-y}\) quindi \(ds=-e^{-y}dy\) e \(dy=-\frac{ds}{s}\)
L'integrale diventa
\(-\int\frac{ds}{(1-7s)s}=-\int(\frac{1}{s}-\frac{7}{7s-1})ds=-(\int\frac{ds}{s}-7\int\frac{ds}{7s-1})=\ln(7s-1)-\ln(s)\)
Sostituendo al contrario otteniamo
\(\ln(7e^{-y}-1)-\ln(e^{-y})=\ln\frac{7e^{-y}-1}{e^{-y}}=\ln(7-e^{y})\)
ti ringrazio molto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo