Analisi I- Calcolo Integrale - n.3 Esercizi

[diezzo1]

Salve, non riesco ad arrivare a capo di questi esercizi, mi sto scervellando da un pò di tempo, ma non avendo le soluzioni, ho come l'impressione di non averlo fatti bene. Spero che mi potiate aiutare

\( \int_{}^{} xcos(logx)\, dx \)

\( \int_{}^{} (x+3)^2 log(x-3)\, dx \)

\( \int_{}^{}{\frac{2log^2 x - logx+5}{x(3log^2x+1)}} dx \)

Grazie in anticipo a tutti

[21zuclo]

comincia prima di tutto a proporre la TUA soluzione.. se è giusta o sbagliata..fa niente..qua nessuno ti giudica..

per esempio iniziamo dal primo.. $\int x \cos(\ln(x))dx$

che procedimento hai fatto?..

p.s.: come da regolamento dovresti postare un tuo tentativo.. NON importa se è sbagliato..siamo tutti qui per darci una mano a vicenda

[diezzo1]

Nel primo esercizio ho integrato per parti due volte e come risultato finale ho:
\( \int_{}^{} xcos(logx)={\frac{3}{5}}x^2[cos(logx) +sen(logx)] \, dx \)
potrebbe essere giusto?

[stormy1]

c'è un modo per vedere se il risultato è giusto : derivarlo e vedere se ti restituisce l'integrando
se non ho sbagliato i calcoli,il risultato non è giusto

io proverei con la sostituzione $t=lnx$

[21zuclo]

"stormy":c'è un modo per vedere se il risultato è giusto : derivarlo e vedere se ti restituisce l'integrando
se non ho sbagliato i calcoli,il risultato non è giusto

io proverei con la sostituzione $t=lnx$

quella sostituzione, NON conviene farla..perchè $\ln(x)=t \to 1/x dx=dt\to dx=x\cdot dt$

quindi avresti un'integranda nelle variabili $x$ e $t$..

è molto meglio (capisco che sia noioso) farlo per parti (parlo del primo integrale)

[stormy1]

ma,veramente,da $lnx=t$ si ha $x=e^t$ e $dx=e^tdt$
quindi si arriva all'integrale $ int e^(2t)cos t dt $ che si può risolvere per parti

[Plepp]

"21zuclo":[quote="stormy"]c'è un modo per vedere se il risultato è giusto : derivarlo e vedere se ti restituisce l'integrando
se non ho sbagliato i calcoli,il risultato non è giusto

io proverei con la sostituzione $t=lnx$

quella sostituzione, NON conviene farla..perchè $\ln(x)=t \to 1/x dx=dt\to dx=x\cdot dt$

quindi avresti un'integranda nelle variabili $x$ e $t$..

è molto meglio (capisco che sia noioso) farlo per parti (parlo del primo integrale)[/quote]
Beh no:
\[t=\ln x\implies x=e^t\implies \text{d}x=e^t \text{d}t \]
e l'integrale diviene
\[\int e^{2t}\cos t\ \text{d}t\]
che è meno malvagio di prima

@stormy: mi hai anticipato, sorry.

[21zuclo]

ah si avete ragione..

scusate è che qui a Milano ci sono 32 gradi..ho il cervello un po' fuso XD..

ma comunque sempre per parti bisogna fare.. concordo che però è meno malvagio

chiedo ancora scusa comunque..

[Brancaleone1]

"diezzo1":Nel primo esercizio ho integrato per parti due volte e come risultato finale ho:
\( \int_{}^{} xcos(logx)={\frac{3}{5}}x^2[cos(logx) +sen(logx)] \, dx \)

"stormy":
se non ho sbagliato i calcoli,il risultato non è giusto

Ad ogni modo puoi calcolarlo anche senza sostituzioni come hai fatto tu - in effetti il risultato che ti è venuto non è molto lontano dal valore corretto

$I=int xcos(lnx)text(d)x=x^2/2cos(lnx)+1/4[x^2 sin(lnx)- int xcos(lnx)text(d)x]=$

$=x^2/2cos(lnx)+1/4[x^2 sin(lnx)- I]$

e quindi

$I+1/4I=x^2/2cos(lnx)+1/4 x^2 sin(lnx)+c$

$=>I=x^2/5[2cos(lnx)+ sin(lnx)]+c$

[diezzo1]

Dopo aver riprovato e riprovato, grazie ai vostri consigli, sono riuscito a risolverlo. Grazie mille