Analisi: funzioni convesse

[Bosch1]

Probabilmente una banalità, ma ci ho pensato guardando la funzione esponenziale, convessa, la cui inversa è concava, il logaritmo (stesso per la parabola, la cui inversa è concava)

Proposizione: sia f:C--->R, C contenuto in R convesso, f monotona crescente, inveritbile e convessa; allora la sua inversa, g:C'--->C, C' contenuto in R, è concava.

Dim: Sappiamo che per ogni x, y in C e per ogni t in [0;1], f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y); inoltre, esiste g:C'--->C, C' in R e convesso;

dovremmo dimostrare che, per ogni x, y in C e per ogni t in [0;1], g(t(f(x)+(1-t)f(y))>=tg(f(x))+(1-t)g(fy))=tx+(1-t)y;

tf(x)+(1-t)f(y)>=f(tx+(1-t)y) implica, per l'esistenza dell'inversa g e per la monotona cresenza di f, che g(tf(x)+(1-t)f(y))>=g(f(tx+(1-t)y)) (sto riconsiderando elementi del dominio di f facendo la funzione g ed f è monotona crescente), da cui, banalmente, la tesi; CVD

Ammesso che sia giusto quello che ho fatto, si potrebbero indebolire le ipotesi e giungere alla stessa tesi? Inoltre, chiaramente ho dovuto ragionare in R; se metto un codominio diverso penso che il tutto sia falso, però non ho cercato un controesempio; lo saprste trovare?

[Fioravante Patrone1]

Una funzione è convessa sse il suo epigrafico è convesso.
Ergo le corde sono messe dalla parte "giusta" se...
Chi fa la differenza è la stretta crescenza o decrescenza.

[Bosch1]

Ed è proprio ciò che ho pensato io. Quindi, messa così, non si può indebolire l'ipotesi, almeno credo, senza contresempio formale (e comunque sarebbe a questo punto del di più in controesempio); ma provare a dare alal funzione un codominio in spazi RxRxR... credi si riuscirebbe, almeno per una certa famiglia di funzioni, riproporre la stessa proposizione?