[Analisi funzionale]Forme quadratiche simmetriche

[dissonance]

Definizione. Sia $H$ uno spazio di Hilbert e $D(q)$ un sottospazio vettoriale. Una applicazione $q: D(q) \times D(q) \to \mathbb{C}$ lineare in un argomento e coniugato lineare nell'altro si dice forma quadratica (più precisamente si dovrebbe dire sesquilineare). Se $q(\psi, \phi)=\bar{q(\phi, \psi)}$, si dice che $q$ è simmetrica. Se esiste una costante $M ge 0$ tale che $q(\psi, \psi) \ge -M ||\psi||^2$, si dice che $q$ è semilimitata.

Trovo scritto sul libro di Reed & Simon, primo volume:

"Reed e Simon":Notice that if $q$ is semibounded then it is automatically symmetric if $H$ is complex.

Qualcuno saprebbe spiegarmi perché? Una affermazione lasciata lì in modo così careless dovrebbe essere ovvia, ma a me non pare proprio, purtroppo.

[rbtqwt]

Mi viene in mente solo questo.. Definisci [tex]$Q : D(q) \to \mathbb{C}$[/tex] tale che [tex]\phi \mapsto Q(\phi) := q(\phi,\phi)[/tex].
Per [tex]$\phi,\psi \in D(q)$[/tex] allora:

[tex]$Q(\phi+\imath \psi) -Q(\phi)-Q(\psi) = \imath [q(\psi,\phi)-q(\phi,\psi)]$[/tex] e [tex]$Q(\phi+\psi) - Q(\phi)-Q(\psi) = q(\phi,\psi)+q(\psi,\phi)$[/tex].

Se [tex]$q$[/tex] è semilimitata, in particolare si ha [tex]$Q(D(q)) \subseteq \mathbb{R}$[/tex], e da questo segue [tex]$\Im q(\phi,\psi) = -\Im q(\psi,\phi)$[/tex] e [tex]$\Re q(\phi,\psi) = \Re q(\psi,\phi)$[/tex], ossia [tex]$q(\phi,\psi) = \overline{q(\psi,\phi)}$[/tex].
Il tutto a meno di sviste

[dissonance]

Bello!

Grazie mille.