[Analisi funzionale] Spettro di \((x_1,x_2,...)\mapsto(0,x_1,\frac{1}{2}x_2,...)\)
Ciao, amici! Sto cercando di calcolare lo spettro dell'operatore, di cui ho verificato la compattezza e quindi la continuità, \(A\in\mathscr{L}(\ell_2,\ell_2)\) definito da\[A(x_1,x_2,x_3,...,x_n,...)=\Big(0,x_1,\frac{1}{2}x_2,...,\frac{1}{n-1}x_{n-1},...\Big)\]ma non riesco a verificare quale sia il suo spettro continuo.
Vedo che, per ogni elemento \((y_1,y_2,...)=(A-\lambda I)(x_1,y_2,...)\) dell'immagine di $A-\lambda I$ si può calcolare $(x_1,x_2,...)$ osservando che $x_1=-\lambda^{-1}y_1$ e \(\forall k\geq 2\quad x_k=-\lambda^{-1}(y_k-(n-1)^{-1}x_{k-1})\), quindi è possibile costruire un'applicazione inversa di $A-\lambda I$ per ogni $\lambda\ne 0$.
Osservo anche per ogni \((y_1,y_2,...)\in\ell_2\) si può costruire ricorsivamente una successione \(z_1=-\lambda^{-1}y_1, ..., z_n=-\lambda^{-1}(y_n-(n-1)^{-1}z_{n-1})\), che, se appartenesse a \(\ell_2\), sarebbe tale che \((A-\lambda I)(z_1,z_2,...)=(y_1,y_2,...)\) e quindi, applicando il teorema di Banach sull'operatore inverso, si avrebbe che per ogni $\lambda \ne 0$ il risolvente $(A-\lambda I)^{-1}$ sarebbe continuo e definito su tutto \(\ell_2\), da cui si potrebbe concludere che \(\sigma(A)=\{0\}\). Solo che non riesco a dimostrare, sempre che sia vero, che \((z_1,z_2,...)\in\ell_2\), cioè che tale successione è assolutamente sommabile...
$\infty$ grazie per ogni aiuto!!!
Vedo che, per ogni elemento \((y_1,y_2,...)=(A-\lambda I)(x_1,y_2,...)\) dell'immagine di $A-\lambda I$ si può calcolare $(x_1,x_2,...)$ osservando che $x_1=-\lambda^{-1}y_1$ e \(\forall k\geq 2\quad x_k=-\lambda^{-1}(y_k-(n-1)^{-1}x_{k-1})\), quindi è possibile costruire un'applicazione inversa di $A-\lambda I$ per ogni $\lambda\ne 0$.
Osservo anche per ogni \((y_1,y_2,...)\in\ell_2\) si può costruire ricorsivamente una successione \(z_1=-\lambda^{-1}y_1, ..., z_n=-\lambda^{-1}(y_n-(n-1)^{-1}z_{n-1})\), che, se appartenesse a \(\ell_2\), sarebbe tale che \((A-\lambda I)(z_1,z_2,...)=(y_1,y_2,...)\) e quindi, applicando il teorema di Banach sull'operatore inverso, si avrebbe che per ogni $\lambda \ne 0$ il risolvente $(A-\lambda I)^{-1}$ sarebbe continuo e definito su tutto \(\ell_2\), da cui si potrebbe concludere che \(\sigma(A)=\{0\}\). Solo che non riesco a dimostrare, sempre che sia vero, che \((z_1,z_2,...)\in\ell_2\), cioè che tale successione è assolutamente sommabile...
$\infty$ grazie per ogni aiuto!!!
Risposte
Non ho capito: vuoi determinare lo spettro o solo lo spettro continuo? Che lo spettro continuo sia \(\{0\}\) si può verificare piuttosto facilmente usando la teoria spettrale degli operatori compatti. Infatti l'unico possibile valore di spettro continuo, per un operatore compatto, è proprio \(0\), ed è chiaro che in questo caso non si tratta di un autovalore. Per gli altri valori spettrali ricordati che se \(\lambda\ne 0\) è un valore spettrale di un operatore compatto allora esso è un autovalore.
"dissonance":Solo quello continuo: ho già constatato che non ha autovalori.
Non ho capito: vuoi determinare lo spettro o solo lo spettro continuo?
"dissonance":Molto interessante: non sapevo questo. Come si può provare? Hai mica un link ad una dimostrazione? $\infty$ grazie!!!
Che lo spettro continuo sia \( \{0\} \) si può verificare piuttosto facilmente usando la teoria spettrale degli operatori compatti.
Ma no, lascia stare le referenze, cerca di fare da solo piuttosto. (Quello che volevo dire nell'altro topic, e che ancora non trovo il tempo di articolare per bene, si riduce sostanzialmente a questo: la matematica non si impara tanto leggendo centinaia di libri, quanto lavorando autonomamente a vari problemi. Nel lavorare a un problema si *consultano* molte pubblicazioni. In questo, stando alla tua esperienza con le lingue e le discipline umanistiche, la matematica si differenzia. Comunque, ne riparleremo - spero).
Se hai già constatato che il tuo operatore \(A\) non ha autovalori, e che è compatto, allora necessariamente il suo spettro è \(\{0\}\). Prova a dimostrarlo tu. Vai per assurdo: se \(0\) fosse un valore regolare, allora \(A\) sarebbe invertibile con inversa \(A^{-1}\) continua. Cosa si può dire allora dell'operatore identico \(I=AA^{-1}\)?
Se hai già constatato che il tuo operatore \(A\) non ha autovalori, e che è compatto, allora necessariamente il suo spettro è \(\{0\}\). Prova a dimostrarlo tu. Vai per assurdo: se \(0\) fosse un valore regolare, allora \(A\) sarebbe invertibile con inversa \(A^{-1}\) continua. Cosa si può dire allora dell'operatore identico \(I=AA^{-1}\)?
So che $I:E\to E$ con $E$ spazio di Banach infinitodimensione, come è \(\ell_2\), non è precompatto e anche che, se $A$ è compatto e $B$ limitato, allora $AB$ e $BA$ sono compatti, quindi \(A^{-1}:E\to E)\) non può esistere limitato, perciò per ogni $A:E\to E$ compatto si ha \(0\in\sigma(A)\). Spero di non dare numeri.
Tuttavia non saprei proprio perché lo 0 sia l'unico elemento dello spettro continuo...
Tuttavia non saprei proprio perché lo 0 sia l'unico elemento dello spettro continuo...
C'è un teorema che afferma che, tolto al più 0, tutti gli elementi dello spettro di un operatore compatto sono autovalori (in questo senso, gli operatori compatti sono "molto simili" agli operatori tra spazi finito-dimensionali).
Questo teorema è dimostrabile anche da un ignorantone come me, con solo alle spalle il IV capitolo del Kolmogorov-Fomin, o in alternativa se ne può trovare una dimostrazione in rete? $\infty$ grazie anche a te!!!
E' un immediato corollario dell'Alternativa di Fredholm: se $T$ è un operatore compatto, allora $T+I$ è iniettivo sse è suriettivo (nota di nuovo l'analogia tra op. compatti e caso finito dimensionale). Riesci a dimostrare l'asserto sopra usando questo Teorema?
Comunque, puoi guardare Brezis, cap. 6. E prego, figurati, è un piacere!
Comunque, puoi guardare Brezis, cap. 6. E prego, figurati, è un piacere!
@Davide: Esatto. Questo prova che \(0\) è necessariamente un valore spettrale. Per dimostrare in modo "soft" che esso è anche unico, visto che hai verificato che non ci sono autovalori, puoi usare il teorema che suggerisce Paolo.
$\infty$ grazie, ragazzi! Beh, prendendo $T=-\lambda^{-1}A$ e tenendo conto del teorema di Banach sull'operatore inverso vedo che, per $\lambda\ne 0$, $A-\lambda I$, o equivalentemente $I-\lambda^{-1}A$, non è biiettiva e quindi non invertibile in \(\mathscr{L}(E,E)\) se e solo se \(\exists x\ne 0: \lambda^{-1}Ax= x\), applicando l'alternativa di Fredholm...
[ot]...di cui, per poter dire di aver risolto l'esercizio, devo comprendere una dimostrazione anche se la dimostrazione del Brezis si appoggia su fatti precedentemente illustrati nel testo i quali\(_1\) a loro a volta si basano su altri fatti, i quali\(_2\)...
@dissonance: successioni di proposizioni relative come quella precedente mi portano a pensare "Davide, è meglio che posponi lo studio di questo teorema a quando avrai tempo di incominciare dall'inizio il testo che lo dimostra"... Sbaglio anche in questi casi?[/ot]@dissonance: esiste anche un modo non "soft", anche se inelegante, per dimostrare la cosa attendendo di approfondire gli affascinanti risultati che vedo sul Brezis?[ot]...che, oltretutto, mi sembra a prima occhiata un testo piuttosto chiaro, non fosse altro perché definisce le cose precisamente prima di parlarne, mentre per esempio il Kolmogorov-Fomin fornisce spesso dimostrazioni di teoremi relativi ad operatori lineari che, perché valga la dimostrazione, devono essere definiti su tutto lo spazio, senza che ciò appaia nell'enunciato del teorema e tutto ciò dopo aver spiegato che non si suppone che un operatore lineare di $E$ sia definito su tutto $E$, ma solo su una varietà lineare dello spazio; insomma, devo fare un bel lavoro di esegesi e filologia -tipo capire che cos'è un punto limite nel testo, che a volte sembra usato in senso di punto di accumulazione e a volte in senso di limite- oltre a concentrarmi sulla teoria matematica, che oltretutto è spesso spiegata utilizzando implicazioni ed equivalenze non banali, ma mai neanche enunciate nel testo...[/ot]
Grazie di cuore ancora!!!
[ot]...di cui, per poter dire di aver risolto l'esercizio, devo comprendere una dimostrazione anche se la dimostrazione del Brezis si appoggia su fatti precedentemente illustrati nel testo i quali\(_1\) a loro a volta si basano su altri fatti, i quali\(_2\)...
@dissonance: successioni di proposizioni relative come quella precedente mi portano a pensare "Davide, è meglio che posponi lo studio di questo teorema a quando avrai tempo di incominciare dall'inizio il testo che lo dimostra"... Sbaglio anche in questi casi?[/ot]@dissonance: esiste anche un modo non "soft", anche se inelegante, per dimostrare la cosa attendendo di approfondire gli affascinanti risultati che vedo sul Brezis?[ot]...che, oltretutto, mi sembra a prima occhiata un testo piuttosto chiaro, non fosse altro perché definisce le cose precisamente prima di parlarne, mentre per esempio il Kolmogorov-Fomin fornisce spesso dimostrazioni di teoremi relativi ad operatori lineari che, perché valga la dimostrazione, devono essere definiti su tutto lo spazio, senza che ciò appaia nell'enunciato del teorema e tutto ciò dopo aver spiegato che non si suppone che un operatore lineare di $E$ sia definito su tutto $E$, ma solo su una varietà lineare dello spazio; insomma, devo fare un bel lavoro di esegesi e filologia -tipo capire che cos'è un punto limite nel testo, che a volte sembra usato in senso di punto di accumulazione e a volte in senso di limite- oltre a concentrarmi sulla teoria matematica, che oltretutto è spesso spiegata utilizzando implicazioni ed equivalenze non banali, ma mai neanche enunciate nel testo...[/ot]
Grazie di cuore ancora!!!
Secondo me si, sbagli. Quello in cui ti stai ficcando è un "math rabbit hole":
viewtopic.php?p=878144#p878144
viewtopic.php?p=878144#p878144
Beh, appunto, per evitare la ricorsione ad infinitum non è il caso di studiarsi il testo ab infinito 
, cioè dall'inizio, per avere chiari i prerequisiti del teorema...?
P.S.: Stavo editando mentre mi hai risposto: esiste anche un modo meno "soft" ed elegante per vedere che \(\sigma(A)=\{0\}\)?
Direi che l'$n$-esimo termine deòòa successione \(\{z_n\}_n\) che propongo nel primo post sia esprimibile esplicitamente come \[-\frac{1}{\lambda} \Bigg(y_n+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{n+k}}{(n-1)...k} y_k\Bigg)\] con \(\{y_n\}_n\in\ell_2\) e quindi direi che una strada potrebbe essere dimostrare che \(\{y_n+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{n+k}}{(n-1)...k} y_k\}_n\in\ell_2\), ma non mi sembra una cosa tanto immediata...
Grazie ad infinitum!
, cioè dall'inizio, per avere chiari i prerequisiti del teorema...?P.S.: Stavo editando mentre mi hai risposto: esiste anche un modo meno "soft" ed elegante per vedere che \(\sigma(A)=\{0\}\)?
Direi che l'$n$-esimo termine deòòa successione \(\{z_n\}_n\) che propongo nel primo post sia esprimibile esplicitamente come \[-\frac{1}{\lambda} \Bigg(y_n+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{n+k}}{(n-1)...k} y_k\Bigg)\] con \(\{y_n\}_n\in\ell_2\) e quindi direi che una strada potrebbe essere dimostrare che \(\{y_n+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{n+k}}{(n-1)...k} y_k\}_n\in\ell_2\), ma non mi sembra una cosa tanto immediata...
Grazie ad infinitum!
Tu hai certamente la libertà di fare così. Ma inevitabilmente, iniziando a leggere un libro dall'inizio succederanno due cose:
a) perderai un sacco di tempo;
b) probabilmente troverai delle altre difficoltà che ti richiederanno di aprire un altro libro ancora.
Tutto questo finirà col portarti molto lontano dal tuo problema iniziale: a me capita spesso di dimenticarmi da dove ero partito, ad un certo punto. Questo metodo ha problemi di *efficienza*.
Ora, essendo un autodidatta e un amatore, hai la libertà di fare totalmente quello che ti pare, infischiandotene se sia efficiente o no. Se però vuoi migliorare questo aspetto del tuo apprendimento matematico, prova a darti delle motivazioni diverse. Ad esempio, questo suggerimento del "reading group" dato qui:
http://math.stackexchange.com/a/618236/8157
mi pare ottimo, anche se (purtroppo) difficile da organizzare fuori da un contesto universitario (e anche dentro, in realtà).
a) perderai un sacco di tempo;
b) probabilmente troverai delle altre difficoltà che ti richiederanno di aprire un altro libro ancora.
Tutto questo finirà col portarti molto lontano dal tuo problema iniziale: a me capita spesso di dimenticarmi da dove ero partito, ad un certo punto. Questo metodo ha problemi di *efficienza*.
Ora, essendo un autodidatta e un amatore, hai la libertà di fare totalmente quello che ti pare, infischiandotene se sia efficiente o no. Se però vuoi migliorare questo aspetto del tuo apprendimento matematico, prova a darti delle motivazioni diverse. Ad esempio, questo suggerimento del "reading group" dato qui:
http://math.stackexchange.com/a/618236/8157
mi pare ottimo, anche se (purtroppo) difficile da organizzare fuori da un contesto universitario (e anche dentro, in realtà).
Sulla possibilità di dimostrare che \(\sigma(A)=\{0\}\) per via "hard" io non solo penso che sia possibile, penso anche che sia meglio. (Meglio evitare di fare troppo affidamento sulla teoria che uno conosce, perché se la può scordare nel momento meno appropriato). Però pure a me non sembra immediato risolvere l'esercizio per questa via, se trovo il tempo proverò a pensarci un po'.
Grazie di tutto!!![ot]In ogni caso, prima o poi, non mi dispiacerebbe seguire un altro testo che sia un corso introduttivo all'analisi funzionale, specialmente quando mi sentirò pronto per iscrivermi all'università -ché finora voglio esplorare ancora qualcosa qua e là per non dover poi passare millemila anni a pagare tasse universitarie-, e il Brezis mi sembra ad occhio piuttosto chiaro. Anche se non ci metterei la mano sul fuoco perché mi sono scottato: intendo portare a termine il mio studio del Kolmogorov-Fomin, ma devo dire che, mentre i primi due capitoli me l'hanno fatto amare -ma diverse cose erano un ripasso di topologia-, il terzo e il quarto mi hanno deluso tantissimo. Si danno per scontato cose che non direi banali per uno che abbia bisogno di un'introduzione a questi temi, come l'equivalenza di precompattezza, precompattezza sequenziale -mai definita, anche se utilizzata continuamente- e precompattezza numerabile in spazi metrici e le implicazioni, valide in generale per ogni spazio topologico, di precompattezza$\Rightarrow$precompattezza numerabile$\Leftarrow$ precompattezza sequenziale, pur introducendo la precompattezza e la precompattezza numerabile con una buona spiegazione come si farebbe con chi non conosca questi concetti topologici, e sembra addirittura, da un linguaggio che ricorda l'equivalenza (es.: in altre parole) che precompattezza numerabile e sequenziale siano la stessa cosa in generale! Senza poi contare certe espressioni ambigue, come punto limite per punto di accumulazione e apparentemente anche per limite, spazio topologico lineare separabile anche per spazio topologico lineare di Hausdorff... Non parlo poi di errori di stampa, non tanto nei calcoli, che mi sembrano proprio pochissimi, ma nello scritto a parole come -il primo che mi viene in mente- quando si omette che si sta parlando di una successione limitata nel teorema 3 del cap. IV, § 3: per fortuna che, cercando in Internet sulla versione in inglese, spesso noto che tali errori non ci sono. In due parole un macello, che credo dovuto alla traduzione. Se non avessi Internet appare chiaro da quanto ho detto che avrei rinunciato a seguire questo testo. Comunque devo dire che, dopo il quarto capitolo sugli operatori lineari ho letto l'appendice di Tikhomirov sulle algebre di Banach, che è strettamente correlata tematicamente ai capitoli 3 e 4, che credevo essere tostissima, ma l'ho trovata chiarissima.
Tu, questi argomenti, come li hai studiati? Devo dire che trovo l'analisi funzionale tremendamente affascinante, proprio perché non semplice, ma credo di trovarla più difficile del necessario anche perché il mio testo non è esattamente ciò che fa al caso mio. Anche l'algebra non è proverbialmente semplicissima, ma con il Bosch mi sono trovato benissimo e non sono dovuto andare a cercare in rete chiarimenti per ogni affermazione che fa, dato che dimostra praticamente tutto e lo fa sempre utilizzando risultati o che esso stesso dimostra o che si enunciano esplicitamente, ma si ritengono conosciuti da previ corsi di analisi, algebra lineare o geometria differenziale, senza contare che definisce tutto ciò che introduce, le notazioni formali sono onnipresenti come in tutti i testi moderni -e quindi non ci si deve scervellare come faccio sul mio testo di analisi funzionale per capire per esempio se un operatore di cui si parla è definito su tutto $E$ o no-, mentre con il Kolmogorov-Fomin, quando non mi è chiaro un passaggio, cerco in rete, chiedo qui o su mathstackexchange e vengo poi a scoprire che, per giustificare tale passaggio, servono vari risultati tutt'altro che banali, mai accennati nel testo e obiettivamente non parte di corsi standard di analisi 1, 2, né di analisi complessa e nemmeno di topologia generale (trattandosi magari di spazi topologici lineari), in altre parole non suscettibili di essere conosciuti da chi si avvicina per la prima volta all'analisi funzionale. Che testi consiglieresti?
Mi scuso se fosse opportuno spostare questo OT in Leggiti questo!.[/ot]
Tu, questi argomenti, come li hai studiati? Devo dire che trovo l'analisi funzionale tremendamente affascinante, proprio perché non semplice, ma credo di trovarla più difficile del necessario anche perché il mio testo non è esattamente ciò che fa al caso mio. Anche l'algebra non è proverbialmente semplicissima, ma con il Bosch mi sono trovato benissimo e non sono dovuto andare a cercare in rete chiarimenti per ogni affermazione che fa, dato che dimostra praticamente tutto e lo fa sempre utilizzando risultati o che esso stesso dimostra o che si enunciano esplicitamente, ma si ritengono conosciuti da previ corsi di analisi, algebra lineare o geometria differenziale, senza contare che definisce tutto ciò che introduce, le notazioni formali sono onnipresenti come in tutti i testi moderni -e quindi non ci si deve scervellare come faccio sul mio testo di analisi funzionale per capire per esempio se un operatore di cui si parla è definito su tutto $E$ o no-, mentre con il Kolmogorov-Fomin, quando non mi è chiaro un passaggio, cerco in rete, chiedo qui o su mathstackexchange e vengo poi a scoprire che, per giustificare tale passaggio, servono vari risultati tutt'altro che banali, mai accennati nel testo e obiettivamente non parte di corsi standard di analisi 1, 2, né di analisi complessa e nemmeno di topologia generale (trattandosi magari di spazi topologici lineari), in altre parole non suscettibili di essere conosciuti da chi si avvicina per la prima volta all'analisi funzionale. Che testi consiglieresti?
Mi scuso se fosse opportuno spostare questo OT in Leggiti questo!.[/ot]
Ma che testo consiglierei *per cosa*? Dici Analisi funzionale e dici il mondo: ci sono tante sfumature diverse della stessa disciplina. Il Brezis è molto diverso dal Kolmogorov-Fomin e chissà che l'analogia tra i due non si limiti al titolo. Infatti si tratta di un libro di *tecniche* di analisi funzionale pensate per l'applicazione alle equazioni alle derivate parziali, in special modo equazioni ellittiche e paraboliche.
Inoltre, tutti i libri di matematica sono come li descrivi: alcuni capitoli sono chiari e fanno al caso nostro, altri non sono chiari o non sono ciò che ci serve. Insisto sulla mia (rispettosa) critica al tuo programma di imparare la matematica leggendo libri in successione, da copertina a copertina. Dovresti fissarti un obiettivo e seguire quello, *usando* varie pubblicazioni per raggiungere il tuo scopo. (IMHO)
Sulla mia esperienza, io ho imparato quell'epsilon che so di analisi funzionale da una miriade di fonti. Vari corsi universitari, anche non di analisi, e vari libri e articoli consultati. Discussioni con professori e colleghi hanno aiutato. E a qualche conclusione (banale) sono arrivato da solo ragionando su altri problemi. Quindi non ti posso consigliare una "bibbia" di analisi funzionale. Dipende molto da cosa stai cercando.
L'unico consiglio che ti posso dare è: NON leggere il Brezis da copertina a copertina. Non è pensato per essere usato così, una impresa del genere non ti servirebbe a granché.
Inoltre, tutti i libri di matematica sono come li descrivi: alcuni capitoli sono chiari e fanno al caso nostro, altri non sono chiari o non sono ciò che ci serve. Insisto sulla mia (rispettosa) critica al tuo programma di imparare la matematica leggendo libri in successione, da copertina a copertina. Dovresti fissarti un obiettivo e seguire quello, *usando* varie pubblicazioni per raggiungere il tuo scopo. (IMHO)
Sulla mia esperienza, io ho imparato quell'epsilon che so di analisi funzionale da una miriade di fonti. Vari corsi universitari, anche non di analisi, e vari libri e articoli consultati. Discussioni con professori e colleghi hanno aiutato. E a qualche conclusione (banale) sono arrivato da solo ragionando su altri problemi. Quindi non ti posso consigliare una "bibbia" di analisi funzionale. Dipende molto da cosa stai cercando.
L'unico consiglio che ti posso dare è: NON leggere il Brezis da copertina a copertina. Non è pensato per essere usato così, una impresa del genere non ti servirebbe a granché.
[ot]In realtà mi interessa... tutto. Diciamo che mi piacerebbe farmi un'infarinatura di argomenti come gli spazi vettoriali topologici e gli operatori su di essi, teoria della misura, ma anche applicazioni di queste cose, per esempio anche alla teoria delle equazioni differenziali. Per esempio, mi sono sentito all'$n$-simo cielo con $n>7$ quando ho studiato la dimostrazione del teorema di Peano sul Kolmogorov-Fomin, che avevo trovato enunciato senza dimostrazione nel libro di analisi 2.[/ot]
Per quanto riguarda lo spettro di $A$, direi che il raggio spettrale \(r(A)=\lim_n \sqrt[n]{\|A^n\|}\) sia nullo perché \(\|A^n\|=(n!)^{-1}\) e, usando la serie $\ln n! =n \ln n-n +(\ln n)/2+\ln(\sqrt{2\pi})+O(1/n)$ che conosco grazie ai recenti studi di matematica discreta, vedo che \(\lim_n \sqrt[n]{n!}=+\infty\). E se \(r(A)=0\) allora \(\sigma(A)=\{0\}\).
Per quanto riguarda lo spettro di $A$, direi che il raggio spettrale \(r(A)=\lim_n \sqrt[n]{\|A^n\|}\) sia nullo perché \(\|A^n\|=(n!)^{-1}\) e, usando la serie $\ln n! =n \ln n-n +(\ln n)/2+\ln(\sqrt{2\pi})+O(1/n)$ che conosco grazie ai recenti studi di matematica discreta, vedo che \(\lim_n \sqrt[n]{n!}=+\infty\). E se \(r(A)=0\) allora \(\sigma(A)=\{0\}\).
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