Analisi funzionale - sottoinsiemi chiusi/aperti
Buongiorno a tutti!
Vorrei proporvi un esercizio che ho provato più e più volte a risolvere arrivando sempre ad un punto morto.
Sia $A sub RR$, per $\lambda in (0,1]$
definiamo la classe $C^ \lambda (A)$ delle funzioni continue Hölderiane come $C^ \lambda (A) = {f: A \rightarrow RR | |f|_\lambda < \oo}$
con $|f|_ \lambda := \mbox{sup}_{x,y \in A, |x-y|<1} (|f(x)-f(y)|)/(|x-y|^ \lambda)$,
e la classe delle funzioni limitate come $C_b(A) = {f: A \rightarrow RR| f \mbox{è continua e }||f||_oo < oo}$.
Sia $M := {f \in C^\lambda (A) nn C_b(A) t.c. |f|_\lambda <=1}$
$M$ è un sottoinsieme chiuso o aperto di $C_b(A)$?
Vorrei proporvi un esercizio che ho provato più e più volte a risolvere arrivando sempre ad un punto morto.
Sia $A sub RR$, per $\lambda in (0,1]$
definiamo la classe $C^ \lambda (A)$ delle funzioni continue Hölderiane come $C^ \lambda (A) = {f: A \rightarrow RR | |f|_\lambda < \oo}$
con $|f|_ \lambda := \mbox{sup}_{x,y \in A, |x-y|<1} (|f(x)-f(y)|)/(|x-y|^ \lambda)$,
e la classe delle funzioni limitate come $C_b(A) = {f: A \rightarrow RR| f \mbox{è continua e }||f||_oo < oo}$.
Sia $M := {f \in C^\lambda (A) nn C_b(A) t.c. |f|_\lambda <=1}$
$M$ è un sottoinsieme chiuso o aperto di $C_b(A)$?
Risposte
Vi scrivo io cosa ho provato a fare...
Per provare che $M$ è chiuso potremmo prendere una successione di funzioni $(f_n)_n \in M$ tale che $f_n \rightarrow f \in C_b$. Se riusciamo a dimostrare che $f \in M$ allora $M$ è chiuso.
Per definizione di convergenza abbiamo che: $ AA \epsilon > 0 EE N \in NN$ tale che $AA n,m > N$ $||f_n - f||_oo < \epsilon$ cioè $\mbox{sup}_{x \in A} |f_n(x)-f(x)|< \epsilon$.
Allora abbiamo che $AA x,y \in A$ tali $|x-y|< 1$, $|f(x)-f(y)| = |f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f(y)+f_n(y)-f_n(y)|<= |f(x)-f_n(x)|+|f_n(y)-f(y)|+|f_n(y)-f_n(x)|< \epsilon + \epsilon + |x-y|^ \lambda = 2 \epsilon +|x-y|^ \lambda$.
Quei $2\epsilon$ sono di troppo!! Se non ci fossero, avrei fatto.
Ho provato anche a dimostrare che era aperto (prendendo una boccia centrata su una funzione in M), sempre con le maggiorazioni, ma arrivo più o meno allo stesso punto... $\epsilon$ di troppo!!
Per provare che $M$ è chiuso potremmo prendere una successione di funzioni $(f_n)_n \in M$ tale che $f_n \rightarrow f \in C_b$. Se riusciamo a dimostrare che $f \in M$ allora $M$ è chiuso.
Per definizione di convergenza abbiamo che: $ AA \epsilon > 0 EE N \in NN$ tale che $AA n,m > N$ $||f_n - f||_oo < \epsilon$ cioè $\mbox{sup}_{x \in A} |f_n(x)-f(x)|< \epsilon$.
Allora abbiamo che $AA x,y \in A$ tali $|x-y|< 1$, $|f(x)-f(y)| = |f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f(y)+f_n(y)-f_n(y)|<= |f(x)-f_n(x)|+|f_n(y)-f(y)|+|f_n(y)-f_n(x)|< \epsilon + \epsilon + |x-y|^ \lambda = 2 \epsilon +|x-y|^ \lambda$.
Quei $2\epsilon$ sono di troppo!! Se non ci fossero, avrei fatto.
Ho provato anche a dimostrare che era aperto (prendendo una boccia centrata su una funzione in M), sempre con le maggiorazioni, ma arrivo più o meno allo stesso punto... $\epsilon$ di troppo!!
Vediamo se ho capito. Direi che la cosa giusta da dimostrare è la chiusura che si traduce in questo:
se $f_n\to f$ uniformemente e se $|f_n(x)-f_n(y)|\leq |x-y|$ per ogni coppia di punti $x,y$ tali che
$|x-y|<1$, allora la stessa proprietà è vera per $f$. Questo mi sembra una semplice conseguenza del fatto che $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x$
(convergenza uniforme implica convergenza puntuale).
se $f_n\to f$ uniformemente e se $|f_n(x)-f_n(y)|\leq |x-y|$ per ogni coppia di punti $x,y$ tali che
$|x-y|<1$, allora la stessa proprietà è vera per $f$. Questo mi sembra una semplice conseguenza del fatto che $f_n(x)\to f(x)$ per ogni $x$
(convergenza uniforme implica convergenza puntuale).
Potresti spiegarmi più formalmente? Perché intuitivamente anche a me sembra che sia così... ma poi devo dimostrarlo!!
Grazie
Grazie
Ti torna che se $f_n$ tende uniformemente a $f$ allora per ogni $x$ fissato $f_n(x)\to f(x)$ ?
Diamolo per buono e consideriamo una successione $(f_n)$ tale che $f_n\in M$ per ogni $n$ e
$f_n\to f$ uniformemente. Voglio dimostrare che $f\in M$
Per questo fisso due punti arbitrari $x$ e $y$ con $|x-y|<1$. Per ogni $n$ si ha:
$|f_n(x)-f_n(y)|\leq |x-y|$ (dato che $f_n\in M$). Passando al limite
$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$.
Dato che $x$ e $y$ sono arbitrari hai dimostrato
$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$ per ogni $x$ e $y$ con $|x-y|<1$.
Questo significa che $f\in M$
Diamolo per buono e consideriamo una successione $(f_n)$ tale che $f_n\in M$ per ogni $n$ e
$f_n\to f$ uniformemente. Voglio dimostrare che $f\in M$
Per questo fisso due punti arbitrari $x$ e $y$ con $|x-y|<1$. Per ogni $n$ si ha:
$|f_n(x)-f_n(y)|\leq |x-y|$ (dato che $f_n\in M$). Passando al limite
$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$.
Dato che $x$ e $y$ sono arbitrari hai dimostrato
$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$ per ogni $x$ e $y$ con $|x-y|<1$.
Questo significa che $f\in M$
"ViciousGoblinEnters":
Ti torna che se $f_n$ tende uniformemente a $f$ allora per ogni $x$ fissato $f_n(x)\to f(x)$ ?
Diamolo per buono e consideriamo una successione $(f_n)$ tale che $f_n\in M$ per ogni $n$ e
$f_n\to f$ uniformemente. Voglio dimostrare che $f\in M$
Per questo fisso due punti arbitrari $x$ e $y$ con $|x-y|<1$. Per ogni $n$ si ha:
$|f_n(x)-f_n(y)|\leq |x-y|$ (dato che $f_n\in M$). Passando al limite
$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$.
Dato che $x$ e $y$ sono arbitrari hai dimostrato
$|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$ per ogni $x$ e $y$ con $|x-y|<1$.
Questo significa che $f\in M$
VGE devi maggiorare con $|x-y|^lambda$... Distrattone!
VGE devi maggiorare con $|x-y|^\lambda$..
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