Analisi funzionale: esercizio operatori
Ciao volevo chiedervi se lo svolgimento del seguente esercizio è giusto:
Si consideri l'operatore di shift $ S: l^2 -> l^2 $ definito da $ (Sx)_n = x_(n-1) $ se $n>1, (Sx)_1 =0$ .
Provare che:
1) $S$ è limitato
2) $0$ non è autovalore e $S$ non possiede autovalori
3) $ \sigma (S)= \{ \lambda \in CC | |\lambda| <= 1 \} $
Svolgimento
1) $ || (Sx)_n ||= sum_(n = 2\) ^ oo |x_(n-1)|^2 = sum_(n = 0\) ^ oo |x_n|^2 = ||x_n||_(l^2) $
allora $ || (Sx)_n|| <= ||x_n|| rArr ||S||<=1 $ e quindi $S$ è limitato.
2) $(Sx)_n = \lambda x_n rArr x_(n-1) = \lambda x_n $ se $ \lambda =0 rArr x_(n-1)=0$ è l'unica soluzione quindi sono in un assurdo $rArr \lambda=0$ non è autovalore.
Inoltre se rappresento $S$ come matrice infinita essa è una matrice di tutti $0$ tranne la sottodiagonale della diagonale principale che è tutta fatta di $1$ , matrici di questo tipo hanno come unico autovalore $0$ che però sappiamo che non è autovalore di $S rArr S $ non ha autovalori.
3) se $| \lambda | <= ||S|| rArr \lambda in \sigma (S) $
$||S||=$ inf $\{ k>0 | ||(Sx)_n || <= k||x_n|| \} $ , ho già visto che $ ||(Sx)_n ||<= ||x_n|| rArr k=1 $
$rArr ||S||=1 rArr |\lambda|<=1 rArr \sigma (S) = \{ \lambda \in CC | |\lambda| <= 1 \} $
Grazie in anticipo a tutti quelli che vorranno darmi una mano!
Si consideri l'operatore di shift $ S: l^2 -> l^2 $ definito da $ (Sx)_n = x_(n-1) $ se $n>1, (Sx)_1 =0$ .
Provare che:
1) $S$ è limitato
2) $0$ non è autovalore e $S$ non possiede autovalori
3) $ \sigma (S)= \{ \lambda \in CC | |\lambda| <= 1 \} $
Svolgimento
1) $ || (Sx)_n ||= sum_(n = 2\) ^ oo |x_(n-1)|^2 = sum_(n = 0\) ^ oo |x_n|^2 = ||x_n||_(l^2) $
allora $ || (Sx)_n|| <= ||x_n|| rArr ||S||<=1 $ e quindi $S$ è limitato.
2) $(Sx)_n = \lambda x_n rArr x_(n-1) = \lambda x_n $ se $ \lambda =0 rArr x_(n-1)=0$ è l'unica soluzione quindi sono in un assurdo $rArr \lambda=0$ non è autovalore.
Inoltre se rappresento $S$ come matrice infinita essa è una matrice di tutti $0$ tranne la sottodiagonale della diagonale principale che è tutta fatta di $1$ , matrici di questo tipo hanno come unico autovalore $0$ che però sappiamo che non è autovalore di $S rArr S $ non ha autovalori.
3) se $| \lambda | <= ||S|| rArr \lambda in \sigma (S) $
$||S||=$ inf $\{ k>0 | ||(Sx)_n || <= k||x_n|| \} $ , ho già visto che $ ||(Sx)_n ||<= ||x_n|| rArr k=1 $
$rArr ||S||=1 rArr |\lambda|<=1 rArr \sigma (S) = \{ \lambda \in CC | |\lambda| <= 1 \} $
Grazie in anticipo a tutti quelli che vorranno darmi una mano!
Risposte
nessuno che mi aiuta?? :'(
1) ok
2) Se \(\lambda = 0\) l'unica soluzione di \(Sx = 0\) è \(x=0\); se \(\lambda \neq 0\) si ha \(x_1 = 0\) e \(x_n = x_{n-1}/\lambda\) per ogni \(n\geq 2\), dunque per induzione \(x_n=0\) per ogni \(n\geq 1\). (Questo credo sia più o meno quello che hai scritto tu.)
3) Non hai dimostrato quanto richiesto; il fatto che \(\sigma(S) \subseteq [-\|S\|, \|S\|]\) vale sempre.
Hai già visto che \(\|S\| = 1\); devi far vedere che, se \(\lambda\in [-1,1]\), allora l'operatore \(S-\lambda I\) non è iniettivo oppure non è suriettivo.
Poiché è iniettivo, si può mostrare che per tali valori di \(\lambda\) non è suriettivo; ad esempio, puoi provare a dimostrare che se \(\lambda\in [-1,1]\) e \(y=(-1,0,0,\ldots)\), allora l'equazione \((S-\lambda I)x = y\) non ha soluzioni \(x\in \ell^2\).
2) Se \(\lambda = 0\) l'unica soluzione di \(Sx = 0\) è \(x=0\); se \(\lambda \neq 0\) si ha \(x_1 = 0\) e \(x_n = x_{n-1}/\lambda\) per ogni \(n\geq 2\), dunque per induzione \(x_n=0\) per ogni \(n\geq 1\). (Questo credo sia più o meno quello che hai scritto tu.)
3) Non hai dimostrato quanto richiesto; il fatto che \(\sigma(S) \subseteq [-\|S\|, \|S\|]\) vale sempre.
Hai già visto che \(\|S\| = 1\); devi far vedere che, se \(\lambda\in [-1,1]\), allora l'operatore \(S-\lambda I\) non è iniettivo oppure non è suriettivo.
Poiché è iniettivo, si può mostrare che per tali valori di \(\lambda\) non è suriettivo; ad esempio, puoi provare a dimostrare che se \(\lambda\in [-1,1]\) e \(y=(-1,0,0,\ldots)\), allora l'equazione \((S-\lambda I)x = y\) non ha soluzioni \(x\in \ell^2\).
ok, grazie mille!! proverò a fare quanto mi hai suggerito. 
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