Analisi funzionale - esercizio

carlo0702
Ciao, ho un problema con un esercizio di analisi funzionale.
Ho un operatore lineare T da L^2 in L^2 (0,1).
Devo verificare che l'immagine di T è composta da 1,t (cioè che T abbia rango 2).
Vi allego lo screen con la soluzione ma non riesco a capire come abbia fatto.
Perchè non sostituisce i valori 1 e -1 nel primo caso, e -3 e 1 nel secondo caso, nella funzione?

Grazie,
Carlo.

Risposte
ciampax
Devi calcolare un integrale, non devi sostituire i valori. Se prendi il primo caso, ad esempio, quello che vedi è che per il primo integrale si ha
$$\int_0^1 f(s)\ ds=\int_0^{1/2} -1\ ds+\int_{1/2}^1 1\ ds=0$$
mentre l'altro integrale viene diverso da zero, e quindi puoi affermare che $1\in Im(T)$. Analogamente nel secondo caso, fai vedere che con quella scelta di $f$ è il secondo integrale ad essere nullo mentre il primo non lo è.

carlo0702
Grazie mille!!
Però, come mi può venir in mente di "scegliere" una funzione ad hoc di quel tipo?

Carlo.

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