[Analisi funzionale] Costruire una certa applicazione
Ciao. Sto affrontando un esercizio e non ne esco. Si chiede di costruire un'applicazione
$F:l^2 \to l^2$ che sia lineare, continua e con immagine NON chiusa. ($l^2$= spazio delle successioni a quadrato sommabile)
Per cominciare ho cercato di costruire l'immagine: deve essere un sottospazio vettoriale perché l'applicazione è lineare, deve essere uno spazio di dimensione infinita perché quelli di dimensione finita sono chiusi. Dopo molti ragionamenti sono riuscito a costruire solo 2 esempi:
* lo spazio l^1
* lo spazio delle successioni definitivamente nulle.
Entrambi, se non erro, sono sottospazi, non chiusi, di l^2. A questo punto provo a costruire un'applicazione lineare che spari tutto l^2 dentro uno di questi due spazi. Il problema è che, sempre se non erro, questi due spazi sono densi in l^2 e nelle applicazioni che sono riuscito a costruire non riesco a <> l'immagine in questi spazi perché sforo e coinvolgo tutto l^2. L'esercizio andrebbe risolto usando solo le definizioni più semplici ed eventualmente le proprietà delle proiezioni su convessi chiusi. Un aiutino?
$F:l^2 \to l^2$ che sia lineare, continua e con immagine NON chiusa. ($l^2$= spazio delle successioni a quadrato sommabile)
Per cominciare ho cercato di costruire l'immagine: deve essere un sottospazio vettoriale perché l'applicazione è lineare, deve essere uno spazio di dimensione infinita perché quelli di dimensione finita sono chiusi. Dopo molti ragionamenti sono riuscito a costruire solo 2 esempi:
* lo spazio l^1
* lo spazio delle successioni definitivamente nulle.
Entrambi, se non erro, sono sottospazi, non chiusi, di l^2. A questo punto provo a costruire un'applicazione lineare che spari tutto l^2 dentro uno di questi due spazi. Il problema è che, sempre se non erro, questi due spazi sono densi in l^2 e nelle applicazioni che sono riuscito a costruire non riesco a <
Risposte
Materia affascinante, da tempo non mi cimento con questo esercizi.
Te la butto là, se consideri il sottoinsieme di $l^2$ delle successioni di norma $1$ e applichi una traslazione a destra?
Mi ricordo che in generale le traslazioni dovrebbero fare al caso tuo.
P.S. Modificato: successioni di norma $1$
Te la butto là, se consideri il sottoinsieme di $l^2$ delle successioni di norma $1$ e applichi una traslazione a destra?
Mi ricordo che in generale le traslazioni dovrebbero fare al caso tuo.
P.S. Modificato: successioni di norma $1$
Grazie, Andrea, per la risposta, ma non mi è chiara: lo spazio che suggerisci non è uno spazio vettoriale (la somma di due successioni che convergono a 1 converge a 2). O sbaglio?
In realtà io credo che "la maggior parte" degli operatori limitati non abbia l'immagine chiusa. Ci sono infatti dei teoremi, conseguenze del teorema di Banach dell'applicazione aperta, che caratterizzano l'avere immagine chiusa in un operatore: una versione semplice è la seguente.
Teorema Siano $X$ e $Y$ due spazi di Banach e sia \(T\colon X \to Y\) un operatore limitato e ingettivo. Allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:
[list=1][*:1cqp9d24]\(T\) ha l'immagine chiusa; [/*:m:1cqp9d24]
[*:1cqp9d24]Esiste una costante \(C>0\) tale che \(\lVert Tx \rVert \ge C\lVert x \rVert\) per ogni \(x \in X\).[/*:m:1cqp9d24][/list:o:1cqp9d24]
(Se \(T\) non è ingettivo si può ricavare la versione generale di questa proposizione mediante un opportuno passaggio al quoziente).
Quindi gli operatori ingettivi con immagine chiusa sono precisamente quelli per cui nell'equazione \(Tx=y\) è possibile dare una stima della norma della soluzione \(x\) in funzione della norma del dato iniziale \(y\). E' chiaro che questa è una proprietà molto forte e che in generale essa non è soddisfatta. Prendiamo per esempio questo operatore:
\[T\mathbf{x}=\left(x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \ldots \frac{x_n}{n} \ldots\right),\qquad \mathbf{x}=(x_1, x_2 \ldots) \in \ell^2.\]
L'equazione \(T\mathbf{x}=\mathbf{y}\) si riduce a \(x_n=ny_n, \quad n \in \mathbb{N}\) ed ha una (unica) soluzione se e solo se la successione \((ny_n)_{n \in \mathbb{N}}\) è quadraticamente sommabile. Ma di certo non si riesce a fabbricare una stima per \(\lVert \mathbf{x} \rVert\) in funzione di \(\lVert \mathbf{y} \rVert\): basti pensare a cosa succede se \(\mathbf{y}=\mathbf{e}_n=(\underbrace{0 \ldots 0, 1}_{n\ \text{posti}}, 0 \ldots)\)\). E infatti, l'operatore \(T\) non ha l'immagine chiusa.
Teorema Siano $X$ e $Y$ due spazi di Banach e sia \(T\colon X \to Y\) un operatore limitato e ingettivo. Allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:
[list=1][*:1cqp9d24]\(T\) ha l'immagine chiusa; [/*:m:1cqp9d24]
[*:1cqp9d24]Esiste una costante \(C>0\) tale che \(\lVert Tx \rVert \ge C\lVert x \rVert\) per ogni \(x \in X\).[/*:m:1cqp9d24][/list:o:1cqp9d24]
(Se \(T\) non è ingettivo si può ricavare la versione generale di questa proposizione mediante un opportuno passaggio al quoziente).
Quindi gli operatori ingettivi con immagine chiusa sono precisamente quelli per cui nell'equazione \(Tx=y\) è possibile dare una stima della norma della soluzione \(x\) in funzione della norma del dato iniziale \(y\). E' chiaro che questa è una proprietà molto forte e che in generale essa non è soddisfatta. Prendiamo per esempio questo operatore:
\[T\mathbf{x}=\left(x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \ldots \frac{x_n}{n} \ldots\right),\qquad \mathbf{x}=(x_1, x_2 \ldots) \in \ell^2.\]
L'equazione \(T\mathbf{x}=\mathbf{y}\) si riduce a \(x_n=ny_n, \quad n \in \mathbb{N}\) ed ha una (unica) soluzione se e solo se la successione \((ny_n)_{n \in \mathbb{N}}\) è quadraticamente sommabile. Ma di certo non si riesce a fabbricare una stima per \(\lVert \mathbf{x} \rVert\) in funzione di \(\lVert \mathbf{y} \rVert\): basti pensare a cosa succede se \(\mathbf{y}=\mathbf{e}_n=(\underbrace{0 \ldots 0, 1}_{n\ \text{posti}}, 0 \ldots)\)\). E infatti, l'operatore \(T\) non ha l'immagine chiusa.
Ciao Megan.
Sì hai ragione, lo spazio di partenza non è vettoriale.
Tu affermi che: "deve essere un sottospazio vettoriale perché l'applicazione è lineare".
Tu devi trovare un sottoinsieme di $l^2$, diciamo $A$, che tramite l'applicazione sia tale che $F(A) \in l^2$ ma $A$ non contenga $F(A)$. Perché la linearità dovrebbe imporre la vettorialità?
Rigiro la domanda anche a dissonance che sicuramente è più ferrato di me.
Sì hai ragione, lo spazio di partenza non è vettoriale.
Tu affermi che: "deve essere un sottospazio vettoriale perché l'applicazione è lineare".
Tu devi trovare un sottoinsieme di $l^2$, diciamo $A$, che tramite l'applicazione sia tale che $F(A) \in l^2$ ma $A$ non contenga $F(A)$. Perché la linearità dovrebbe imporre la vettorialità?
Rigiro la domanda anche a dissonance che sicuramente è più ferrato di me.
"Andrea2976":
Tu devi trovare un sottoinsieme di $l^2$, diciamo $A$, che tramite l'applicazione sia tale che $F(A) \in l^2$ ma $A$ non contenga $F(A)$. Perché la linearità dovrebbe imporre la vettorialità?
???
Che significa questa frase?
Più semplicemente il problema è che devi trovare una applicazione definita su tutto lo spazio \(\ell^2\) e non solo su un suo sottoinsieme. Quello che indichi tu, delle successioni convergenti a \(1\), tra l'altro, non è neanche un sottoinsieme di \(\ell^2\): una successione quadraticamente sommabile è per forza di cose infinitesima. E infine, le traslazioni non vanno bene per questo esercizio perché in generale esse hanno immagine chiusa.
Scritto male.
Non convergenti a $1$ ma di norma $1$ in $l^2$.
Comunque sia non va bene lo stesso (mi rispondo da solo).
Non convergenti a $1$ ma di norma $1$ in $l^2$.
Comunque sia non va bene lo stesso (mi rispondo da solo).
Grazie Dissonance, la tua risposta mi ha convinto. L'unica pecca è che senza quel teorema che hai citato non lo saprei rifare mentre l'esercizio andrebbe risolto con metodi elementari. Ma non è un problema, lascerò così. Grazie anche ad Andrea per il tentativo. Ciao.
"Megan00b":Senti, secondo me l'esempio più facile che si possa fare è proprio l'operatore \(T\) del mio post di prima. Dimostrare che non ha immagine chiusa non richiede particolari teoremi. Difatti l'immagine di \(T\) è \(\{\mathbf{y}\in \ell^2\mid ny_n=x_n\ \text{per un}\ \mathbf{x}\in \ell^2\}\) ed è densa in \(\ell^2\) perché contiene una base ortonormale (\(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 \ldots\}\)) ma non coincide con tutto \(\ell^2\) perché, ad esempio, \(\mathbf{y}=(1, 1/2, 1/3 \ldots 1/n \ldots )\) non vi appartiene.
Grazie Dissonance, la tua risposta mi ha convinto. L'unica pecca è che senza quel teorema che hai citato non lo saprei rifare mentre l'esercizio andrebbe risolto con metodi elementari.
Certo, detta così sembra un esempio un po' calato dal cielo. Ma diventa più naturale facendo qualche ragionamento di tipo spettrale. E' chiaro infatti che \(1, 1/2, 1/3 \ldots\) sono tutti autovalori dell'operatore \(T\), e dunque anche \(0\) deve essere un valore spettrale. Però \(0\) non è un autovalore perché, come è immediato, \(T\) è ingettivo. Quindi \(0\) deve essere spettro continuo o residuo: e però non può essere spettro residuo perché \(T\) è autoaggiunto. In conclusione \(0\) è spettro continuo e se ci pensi un attimo quest'ultima proposizione è esattamente equivalente al dire che \(T\) ha immagine densa ma non chiusa. Più in generale, quindi, ogni operatore
\[S\mathbf{x}=(\alpha_1x_1, \alpha_2x_2, \alpha_3x_3 \ldots )\qquad \mathbf{x}\in\ell^2\]
dove \(\alpha_n \to 0\) e \(\alpha_n \in \mathbb{R}, \alpha_n \ne 0\), non ha l'immagine chiusa.
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