Analisi Funzionale Applicata
Ciao a tutti!
sono nella cacchina: devo preparare questo esame in pochissimo tempo e quindi sono costretto a chiedervi un aiuto e un pò del vostro tempo.
Quello che volevo fare era imparare come si fanno gli esercizi del tema d'esame (tanto sono tutti abbasta simili).
So che probabilmente molti di voi storceranno il naso ma sono davvero con l'acqua alla gola! vi prego aiutatemi.
Posto uno degli esami, magari ne seguiranno altri.
grazie in anticipo
1. Sia:
\( f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}, \quad x\in \mathbb{R} \)
(a) calcolare la trasformata di Fourier di \( f(x) \).
(b) calcolare la trasformata di Fourier di \( f'(x) \).
(c) calcolare la trasformata di Fourier di \( xf(x) \).
(d) calcolare la trasformata di Fourier di \( f(x+3) \).
2. Sia \( f_a(x+iy) = xy+ia(x^2-y^2) \)
(a) Dire per quali valori del parametro reale a la funzione \( f_a \) e intera.
(b) Per i valori di a per i quali \( f_a \) e intera, scrivere la derivata in senso complesso di \( f_a \).
(c) Scrivere il diff erenziale della funzione \( g_a : \mathbb{R} \times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C} \) de nfita da \( g_a(x; y) = f_a(x + iy) \).
(d) Scrivere la derivata "totale" rispetto \( t \) della funzione fa supponendo che le variabili \( x \) e \( y \).
dipendano dal tempo \( t \).
3. Scrivere la serie di Fourier di \( f(x) = x^2 , x\in(-1,1)\).
4. Siano \(H_n,n=0, 1, 2, \dots\) i polinomi di Hermite
\( H_n (x) = (-1)^n e^{x^2}\left(\frac{d}{dx}\right) ^n(e^{-x^2}) \)
La funzione generatrice dei polinomi di Hermite é
\( G(x, h) = e^{2hx-h^2} = \sum_{n=0} ^\infty \frac{H_n(x)}{n!}h^n\)
(a) Dimostrare che la funzione \(G(x; h)\) soddisfa l'equazione
\( \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}-2x\frac{\partial G}{\partial x}+2h\frac{\partial G}{\partial x}=0\)
(b) Dimostrare, utilizzzando il punto precedente, che\( H_n\) soddisfa l'equazione
\( y''-2xy'+2ny=0\)
sono nella cacchina: devo preparare questo esame in pochissimo tempo e quindi sono costretto a chiedervi un aiuto e un pò del vostro tempo.
Quello che volevo fare era imparare come si fanno gli esercizi del tema d'esame (tanto sono tutti abbasta simili).
So che probabilmente molti di voi storceranno il naso ma sono davvero con l'acqua alla gola! vi prego aiutatemi.
Posto uno degli esami, magari ne seguiranno altri.
grazie in anticipo
1. Sia:
\( f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}, \quad x\in \mathbb{R} \)
(a) calcolare la trasformata di Fourier di \( f(x) \).
(b) calcolare la trasformata di Fourier di \( f'(x) \).
(c) calcolare la trasformata di Fourier di \( xf(x) \).
(d) calcolare la trasformata di Fourier di \( f(x+3) \).
2. Sia \( f_a(x+iy) = xy+ia(x^2-y^2) \)
(a) Dire per quali valori del parametro reale a la funzione \( f_a \) e intera.
(b) Per i valori di a per i quali \( f_a \) e intera, scrivere la derivata in senso complesso di \( f_a \).
(c) Scrivere il diff erenziale della funzione \( g_a : \mathbb{R} \times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C} \) de nfita da \( g_a(x; y) = f_a(x + iy) \).
(d) Scrivere la derivata "totale" rispetto \( t \) della funzione fa supponendo che le variabili \( x \) e \( y \).
dipendano dal tempo \( t \).
3. Scrivere la serie di Fourier di \( f(x) = x^2 , x\in(-1,1)\).
4. Siano \(H_n,n=0, 1, 2, \dots\) i polinomi di Hermite
\( H_n (x) = (-1)^n e^{x^2}\left(\frac{d}{dx}\right) ^n(e^{-x^2}) \)
La funzione generatrice dei polinomi di Hermite é
\( G(x, h) = e^{2hx-h^2} = \sum_{n=0} ^\infty \frac{H_n(x)}{n!}h^n\)
(a) Dimostrare che la funzione \(G(x; h)\) soddisfa l'equazione
\( \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}-2x\frac{\partial G}{\partial x}+2h\frac{\partial G}{\partial x}=0\)
(b) Dimostrare, utilizzzando il punto precedente, che\( H_n\) soddisfa l'equazione
\( y''-2xy'+2ny=0\)
Risposte
1.
(a) E' sufficiente usare la definizione di trasformata di fourier (osservando che $f \in L^1(\mathbb{R})$) si ha che:
$\mathcal{F}(frac{1}{x^2+2x+2}, \xi} = \int_{\mathbb{R}} \frac{e^{-ix \xi}}{x^2+2x+2} dx$ che si può facilmente risolvere con il teorema dei residui passando in campo complesso; bisogna distinguere due casi (a seconda del segno di $\xi$):
Se $\xi >0$ : $\int_{\mathbb{R}} \frac{e^{-ix \xi}}{x^2+2x+2} dx = 2\pi i Res{f, -i-1} = -\pi e^(\xi - i\xi) $
E così via, i calcoli sono noiosi ma facili.
(b) Essendo $f \in C^1(\mathbb{R})$ ed essendo $f' \in L^1(\mathbb{R})$ allora c'è un noto teorema che afferma che $\mathcal{F}{f',\xi} = i \xi \mathcal{F}{f,\xi}$, a te i conti.
(c) Essendo $xf \in L^2(\mathbb{R})$ c'è un altro noto teorema che afferma che....
(d) Formuletta
Almeno prova a postare quello che hai provato a fare..
(a) E' sufficiente usare la definizione di trasformata di fourier (osservando che $f \in L^1(\mathbb{R})$) si ha che:
$\mathcal{F}(frac{1}{x^2+2x+2}, \xi} = \int_{\mathbb{R}} \frac{e^{-ix \xi}}{x^2+2x+2} dx$ che si può facilmente risolvere con il teorema dei residui passando in campo complesso; bisogna distinguere due casi (a seconda del segno di $\xi$):
Se $\xi >0$ : $\int_{\mathbb{R}} \frac{e^{-ix \xi}}{x^2+2x+2} dx = 2\pi i Res{f, -i-1} = -\pi e^(\xi - i\xi) $
E così via, i calcoli sono noiosi ma facili.
(b) Essendo $f \in C^1(\mathbb{R})$ ed essendo $f' \in L^1(\mathbb{R})$ allora c'è un noto teorema che afferma che $\mathcal{F}{f',\xi} = i \xi \mathcal{F}{f,\xi}$, a te i conti.
(c) Essendo $xf \in L^2(\mathbb{R})$ c'è un altro noto teorema che afferma che....
(d) Formuletta
Almeno prova a postare quello che hai provato a fare..
1)
a) Non serve lanciarsi nell'utilizzo del teorema dei residui. Basta usare le principali regole per le trasformate di Fourier:
$ \mathcal{F}$ \( \displaystyle \left [ \frac{1}{ x^2 + 2x + 2 } \right ] (\omega) = \) $ \mathcal{F}$ \( \displaystyle \left [ \frac{1}{ (x + 1)^2 + 1 } \right ] (\omega) = \pi e^{i \omega -|\omega|} \)
b), c), d) si fanno con regole standard per le trasformate, una volta fatto il punto a)
a) Non serve lanciarsi nell'utilizzo del teorema dei residui. Basta usare le principali regole per le trasformate di Fourier:
$ \mathcal{F}$ \( \displaystyle \left [ \frac{1}{ x^2 + 2x + 2 } \right ] (\omega) = \) $ \mathcal{F}$ \( \displaystyle \left [ \frac{1}{ (x + 1)^2 + 1 } \right ] (\omega) = \pi e^{i \omega -|\omega|} \)
b), c), d) si fanno con regole standard per le trasformate, una volta fatto il punto a)
0) leomagicabula scrivi un tuo tentativo.
"Raptorista":
0) leomagicabula scrivi un tuo tentativo.
ci sto lavorando.... ho postato il testo prima di mettermici su (e studiare)... mi serve più tempo
Bene, attendiamo tue notizie!
sono riuscito a fare l'esercizio 2.
punto a)
\( \frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}\)
da cui ricavo:
\(a=-\frac{1}{2}\)
quindi:
\(\frac{\partial f}{\partial x}\vert_{a=-\frac{1}{2}}= y-ix \\
\frac{\partial f}{\partial y}\vert_{a=-\frac{1}{2}}=x+iy\)
le derivate parziali sono continue quindi \(f\) è intera.
punto b)
\( f'(z)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}= y-ix\)
punto c)
differenziale di \(f_a\)
\(df_a=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\left(y+2iax\right)+\left(x-i2ay\right)dy\)
punto d)
so come fare:
\(\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\) ma non mi è chiara di che tipo sia la dipendenza dal tempo. Devo supporre che \(x=r\cos t\) e \(y=r\sin t\) ?
punto a)
\( \frac{\partial f}{\partial x}=-i\frac{\partial f}{\partial y}\)
da cui ricavo:
\(a=-\frac{1}{2}\)
quindi:
\(\frac{\partial f}{\partial x}\vert_{a=-\frac{1}{2}}= y-ix \\
\frac{\partial f}{\partial y}\vert_{a=-\frac{1}{2}}=x+iy\)
le derivate parziali sono continue quindi \(f\) è intera.
punto b)
\( f'(z)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}= y-ix\)
punto c)
differenziale di \(f_a\)
\(df_a=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy=\left(y+2iax\right)+\left(x-i2ay\right)dy\)
punto d)
so come fare:
\(\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\) ma non mi è chiara di che tipo sia la dipendenza dal tempo. Devo supporre che \(x=r\cos t\) e \(y=r\sin t\) ?
esercizio 3:
ho un pò di problemi: chiamo \(T\) il periodo della funzione, \(T\) è =2??
\(f(x)\) è pari quindi i coefficienti sono:
\(c_n=\frac{a_0}{2}=\frac{2}{T}\int_0^{T/2} f(x) dx\\
a_n=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}f(x)\cos(n\omega x)dx \quad \omega=\frac{2\pi}{T}???\\
b_n=0\)
e poi si tratta solo di risolvere un integrale per parti (2 volte, se non ricordo male) e via..
ho un pò di problemi: chiamo \(T\) il periodo della funzione, \(T\) è =2??
\(f(x)\) è pari quindi i coefficienti sono:
\(c_n=\frac{a_0}{2}=\frac{2}{T}\int_0^{T/2} f(x) dx\\
a_n=\frac{4}{T}\int_0^{T/2}f(x)\cos(n\omega x)dx \quad \omega=\frac{2\pi}{T}???\\
b_n=0\)
e poi si tratta solo di risolvere un integrale per parti (2 volte, se non ricordo male) e via..
Allora,
Esercizio 1, punto a
\(
\widetilde{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-i\omega x}}{x^2+2x+2}dx \\
g(z)=\frac{e^{-i\omega z}}{(z-z_0)(z-z_1)}=\frac{e^{-i\omega z}}{(z+1+i)(z+1-i)}\\
\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)\frac{e^{-i\omega z}}{(z+1+i)(z+1-i)}=\frac{e^{i\omega}e^{-\omega}}{(z+1-i)}\\
\lim_{z\rightarrow z_1}(z-z_1)\frac{e^{-i\omega z}}{(z+1+i)(z-+1-i)}=\frac{e^{i\omega}e^{\omega}}{(z+1+i)}
\)
Se \(\omega<0\)
\(
\widetilde{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[2\pi i Res(g,z_1)\right]=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}2\pi i \frac{e^{i\omega}e^{\omega}}{(z+1+i)}=\sqrt{2\pi}i\frac{e^{\omega (i+1)}}{(z+1+i)}
\)
Se \(\omega>0\)
\(
\widetilde{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[-2\pi i Res(g,z_0)\right]=
=-i\sqrt{2\pi}\frac{e^{\omega(i-1)}}{z+1-i}
\)
Ho fatto bene??
punto b,
applico la proprietà della trasformata di Fourier della derivata di \(f\)
\(
\widetilde{f}'(\omega)= i\omega\widetilde{f}(\omega)
\)
quindi devo solo moltiplicare il risultato del punto prima per \(i\omega\)
Esercizio 1, punto a
\(
\widetilde{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-i\omega x}}{x^2+2x+2}dx \\
g(z)=\frac{e^{-i\omega z}}{(z-z_0)(z-z_1)}=\frac{e^{-i\omega z}}{(z+1+i)(z+1-i)}\\
\lim_{z\rightarrow z_0}(z-z_0)\frac{e^{-i\omega z}}{(z+1+i)(z+1-i)}=\frac{e^{i\omega}e^{-\omega}}{(z+1-i)}\\
\lim_{z\rightarrow z_1}(z-z_1)\frac{e^{-i\omega z}}{(z+1+i)(z-+1-i)}=\frac{e^{i\omega}e^{\omega}}{(z+1+i)}
\)
Se \(\omega<0\)
\(
\widetilde{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[2\pi i Res(g,z_1)\right]=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}2\pi i \frac{e^{i\omega}e^{\omega}}{(z+1+i)}=\sqrt{2\pi}i\frac{e^{\omega (i+1)}}{(z+1+i)}
\)
Se \(\omega>0\)
\(
\widetilde{f}(\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left[-2\pi i Res(g,z_0)\right]=
=-i\sqrt{2\pi}\frac{e^{\omega(i-1)}}{z+1-i}
\)
Ho fatto bene??
punto b,
applico la proprietà della trasformata di Fourier della derivata di \(f\)
\(
\widetilde{f}'(\omega)= i\omega\widetilde{f}(\omega)
\)
quindi devo solo moltiplicare il risultato del punto prima per \(i\omega\)
"Bremen000":
1.
(a) E' sufficiente usare la definizione di trasformata di fourier (osservando che $f \in L^1(\mathbb{R})$) si ha che:
$\mathcal{F}(frac{1}{x^2+2x+2}, \xi} = \int_{\mathbb{R}} \frac{e^{-ix \xi}}{x^2+2x+2} dx$ che si può facilmente risolvere con il teorema dei residui passando in campo complesso; bisogna distinguere due casi (a seconda del segno di $\xi$):
Se $\xi >0$ : $\int_{\mathbb{R}} \frac{e^{-ix \xi}}{x^2+2x+2} dx = 2\pi i Res{f, -i-1} = -\pi e^(\xi - i\xi) $
E così via, i calcoli sono noiosi ma facili.
(b) Essendo $f \in C^1(\mathbb{R})$ ed essendo $f' \in L^1(\mathbb{R})$ allora c'è un noto teorema che afferma che $\mathcal{F}{f',\xi} = i \xi \mathcal{F}{f,\xi}$, a te i conti.
(c) Essendo $xf \in L^2(\mathbb{R})$ c'è un altro noto teorema che afferma che....
(d) Formuletta
Almeno prova a postare quello che hai provato a fare..
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