Analisi funzionale

[ayeyye]

Ringrazio anticipatamente chi saràà in grado di aiutarmi per queste domande.

allora iniziamo da 1 domanda semplice semplice su wikipedia non ho trovato niente:

- dai la definizione di operatore positivo e descrivi i suoi autovalori.

immagino che sia un operatore con autovalori positivi?

[ViciousGoblin]

"ayeyye":Ringrazio anticipatamente chi saràà in grado di aiutarmi per queste domande.

allora iniziamo da 1 domanda semplice semplice su wikipedia non ho trovato niente:

- dai la definizione di operatore positivo e descrivi i suoi autovalori.

immagino che sia un operatore con autovalori positivi?

Se $H$ e' uno spazio di Hilbert e $A:H\to H$ e' lineare, si dice che $A$ e' positivo se $(Au,u)_H\geq 0$ per ogni $u$ in $H$.

[ayeyye]

ok benissimo, quindi la conseguenza è che ha autovalori positivi.

anche qst altri due non mi vengono:
prova che gli autovettori corrispondenti ad autovalori di un operatore unitario sono ortogonali.

ultimo dubbio:
dai la definizione di soluzione debole del problema omogeneo di dirichlet per l'equazione di poisson e mostra i principali passaggi della dimostrazione dell'esistenza e unicità della stessa. mi sareste di grosso aiuto, ciao.

[ayeyye]

per il secondo ho fatto così:

U è un operatore tale che $ = e ||U||=1$
bisogna provare che se fi e fj sono due autovettori distinti di U
$ =0$

allora $ = =lambda_(i)bar(lambda_j)<=>lambda_(i)bar(lambda_j)=1$ oppure $ =0$

mostriamo che la prima non è possibile:

abbiamo che $||f_i||=lambda_(i)bar(lambda_i)||f_i||<=>lambda_(i)bar(lambda_i)=1$ dato che la norma di un vettore dello spazio è sempre maggiore di zero ed è =0 se e solo se il vettore è nullo e fi è un autovettore quindi diverso da zero.

di conseguenza dato che $lambda_(i)nelambda_j$ e $lambda_(i)=lambda_j<=>f_(i)=f_j$ è esclusa la prima ipotesi quindi si ha che $ =0$ pertanto fi è ortogonale ad fj.

ok? datemi un parere.

[ayeyye]

niente?