Analisi funzionale...

[Raphael1]

Ciao a tutti, eccomi di nuovo alle prese con un esercizio...

ho $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, data da $f(x)=1-|x|$, devo dimostrare alcune cose,

prima cosa: $f\in \bar{W^{1,p}}(-1,1)$, per ogni $p\in[1,\infty)$.
Allora, io so che per definizione $\bar{W^{1,p}}:=\{f\inW^{1,p}(-1,1):\exists\{f_k\}\in D(-1,1) : ||f_k-f||_{W^{1,p}}\rightarrow 0 \ if \ k\rightarrow\infty\}$

Quindi tanto per cominciare, dovrei dimostrare che $f\inW^{1,p}(-1,1)$, giusto?
Allora sicuramente so che $f\inL^p(-1,1)$, e se calcolo la derivata di $f$, $f'=1$ se $-1
Adesso dovrei dimostrare che $\int_{(-1,1)}f\phi'dx=-\int_{(-1,1)}f'\phidx$ per ogni $\phi\inD(-1,1)$, giusto? ma non riesco a dimostrarlo.. mi sembra quasi che non sia vero! mi aiutate?

Poi mi chiedevo cosa succede a $p=\infty$, ma non mi riesco a dare risposta!

Grazie in anticipo

[elgiovo]

In generale, una funzione continua su $bar I$ e dotata di derivata continua a tratti su $I$ appartiene a $W^(1,p)(I)$ per ogni $1<=p<=oo$, e questo mi pare il caso. Dunque certamente $f in bar(W^(1,p)(I))$ $forall p in [1,oo)$. Credo che la parentesi tonda ci sia perchè non si include mai $oo$ in un intervallo, e non perchè quanto detto non vale per $p=oo$; infatti basta calcolare $||f||_(W^(1,oo))=||f||_(L^oo)+||f'||_(L^(oo))$. L'uguaglianza $int_((-1,1))f phi'=-int_((-1,1)) f' phi$ $forall phi in C_c^1[(-1,1)]$ è conseguenza del fatto che $f in W^(1,p)[(-1,1)]$.

[Raphael1]

non miè chiaro.... tra l'altro il prof mi ha detto che per $p=\infty$ non è vera l'assunzione del teorema.!!!

[elgiovo]

Cosa non ti è chiaro? E comunque perchè non dovrebbe valere per $p=oo$? $||f||_(W^(1,oo))=||f||_(oo)+||f'||_(oo)="sup ""ess"_((-1,1)) f +"sup ""ess"_((-1,1)) f' =2$, dove con $f'$ si intende la derivata di $f$ nel senso $W^(1,p)$, che vale $f'(x)={(+1" se "-1

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[Raphael1]

Allora, mi è chiaro che $f \in W^{1,p}$ per ogni $p$ anche $\infty$, ma non mi è chiaro come provare che appartiene anche a $\bar{W^{1,p}}$ e il prof mi ha detto che $f$ non appartiene a $\bar{W^{1,\infty}}$. Ho omesso l'intervallo che considero, che è sempre $(-1,1)$.

[Raphael1]

Per dimostrarlo, dovrei trovare $\{f_k\}$ tale che convergano a $f$ in $W^{1,p}$, secondo la definizione di $\bar{W^{1,p}}$, ma non riesco a capire come definirle!

[elgiovo]

Cosa intendi per $D(-1,1)$?

[Raphael1]

$D(-1,1)=C_0^{\infty}(-1,1)$

[elgiovo]

Ok. In tal caso mi rifarei al teorema di densità di $D(-1,1)$ in $W^(1,p)(-1,1)$ per $1<=pnon esiste una successione $(u_n)$ in $D(RR)$ tale che $u_n|_((-1,1))$ converga a $u$ in norma $W^(1,oo)$. Per far ciò, si potrebbe sfruttare il risultato seguente: $W^(1,p)(I) sub L^(oo)(I)$ con iniezione continua per ogni $1<=p<=oo$.

[Raphael1]

Io non capisco più nulla, a lezione abbiamo dimostrato un teorema che dice che $D(\Omega$ NON è denso in $W^{m,p}(\Omega)$ se $\Omega\ne\mathbb{R}^n$, per ogni $m>=1$.

Sempre a riguardo, ho trovato un teorema su un libro che riguarda questo argomento, ma non capisco la dimostrazione, provo a scriverla qui, perchè questo teorema mi dimostrerebbe la parte per $p<\infty$.

Il teorema dice che se $f\inW^{1,p}(I)$ con $1<=p<\infty$ e $I$ un intervallo aperto come quello dell'esercizio, allora $f\in\bar{W^{1,p}}$ se e solo se $f=0$ su $\partial I$.

Ecco la dimostrazione della parte che interessa a me, cioè che se $f=0$ su $\partial I$ allora $f\in\bar{W^{1,p}}$.
Mi dice di considerare la funzione $G\inC^1(\mathbb{R})$, definita come segue: $G(t)=0$, se $|t|<=1$, e $G(t)=t$, se $|t|>=2$ e poi di considerare $f_n=\frac{1}{n}G(nf)$. Quello che mi sfugge è già il fatto che $G\inC^1(\mathbb{R})$, non mi sembra lo sia!!! c'è un errore nel libro o cosa?

[elgiovo]

Perdona il mio errore: volevo scrivere $D(RR)$ è denso in $W^(1,p)(-1,1)$.

[elgiovo]

"Raphael":
Il teorema dice che se $f\inW^{1,p}(I)$ con $1<=p<\infty$ e $I$ un intervallo aperto come quello dell'esercizio, allora $f\in\bar{W^{1,p}}$ se e solo se $f=0$ su $\partial I$.

Perfetto: dato che la funzione in esame rispetta le ipotesi del teorema, sappiamo che $f in bar(W^(1,p)(-1,1)) forall 1<=p

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[Raphael1]

Sì ma non capisco la dimostrazione!!!

[elgiovo]

Non conosco la dimostrazione che riporti, comunque se non sbaglio una funzione $G$ siffatta non è definita per $1<|t|<2$, si sa solo che $G in C^1(RR)$. Poichè laddove è definita $G$ non presenta problemi di regolarità, basta immaginarsi una $G$ continua anche in $1<=|t|<=2$, tutto qui.

[ViciousGoblin]

Sperando di avere capito le notazioni (che sono in po' diverse da quelle a cui sono abituato) provo a dimostrare che
la tua $f$ non è in $\bar{W^{1,\infty}}$. Innanzi tutto, se non sbaglio, hai già visto che $f$ ha derivata debole
$g$ dove $g(x)=1$ se $0 Se $f$ fosse in $\bar{W^{1,\infty}}$ si troverebbe una successione $(\phi_n)$ in $D$ tale che $\phi_n\to f$ in $\bar{W^{1,\infty}}$,
e questo equivale a dire che $\phi_n\to f$ in $L^\infty$ e $\phi'_n\to g$ in $L^\infty$. Ma allora, come conseguenza dei teoremi sulla
convergenza uniforme, $g$ sarebbe continua, cosa che è falsa.