Analisi: dimostrazione teorema sui limiti (f. composte)
Buongiorno a tutti.
E' da un po' che mi chiedo come si può dimostrare il teorema per il calcolo dei limiti di funzioni composte (quello che permette di commutare l'operazione di limite con una qualsiasi di funzione continua: ad esempio il limite del logaritmo è uguale al logaritmo del limite; il limite del seno è il seno del limite e via dicendo).
Penso che il seguente sia un buon enunciato:
"Siano date $y=f(z)$ e $z=g(x)$, con $g(x)$ appartenente al dominio di $f$, $\forall x in D$, dove D è il dominio di $g$. E' dunque lecito comporre le funzioni: $f[g(x)]$.
Se risulta $lim_(x->x_0) g(x)= z_0$ e se $f(z)$ è continua in $z_0$ allora
$lim_(x->x_0) f[g(x)] = f(lim_(x->x_0)g(x))=f(z_0).$"
Che cosa ne dite? Spero l'enunciato sia corretto... e la dimostrazione? ne ho trovata una su un vecchio libro di analisi ma non sono riuscito a capirla: qualcuno mi può aiutare? sapete dove posso trovarne una? qualcuno mi può anche solo dare un'idea di come cominciare?
Io avevo anche pensato - per divertirmi un po'- di analizzare qualche caso "particolare" (ad es: dimostrare che $lim_(x->x_0) logf(x) = log (lim_(x->x_0)f(x))$) ma ovviamente non ho cavato nulla.
Sperando in un vostro aiuto, vi ringrazio.
Paolo
E' da un po' che mi chiedo come si può dimostrare il teorema per il calcolo dei limiti di funzioni composte (quello che permette di commutare l'operazione di limite con una qualsiasi di funzione continua: ad esempio il limite del logaritmo è uguale al logaritmo del limite; il limite del seno è il seno del limite e via dicendo).
Penso che il seguente sia un buon enunciato:
"Siano date $y=f(z)$ e $z=g(x)$, con $g(x)$ appartenente al dominio di $f$, $\forall x in D$, dove D è il dominio di $g$. E' dunque lecito comporre le funzioni: $f[g(x)]$.
Se risulta $lim_(x->x_0) g(x)= z_0$ e se $f(z)$ è continua in $z_0$ allora
$lim_(x->x_0) f[g(x)] = f(lim_(x->x_0)g(x))=f(z_0).$"
Che cosa ne dite? Spero l'enunciato sia corretto... e la dimostrazione? ne ho trovata una su un vecchio libro di analisi ma non sono riuscito a capirla: qualcuno mi può aiutare? sapete dove posso trovarne una? qualcuno mi può anche solo dare un'idea di come cominciare?
Io avevo anche pensato - per divertirmi un po'- di analizzare qualche caso "particolare" (ad es: dimostrare che $lim_(x->x_0) logf(x) = log (lim_(x->x_0)f(x))$) ma ovviamente non ho cavato nulla.
Sperando in un vostro aiuto, vi ringrazio.
Paolo
Risposte
Prendi un intorno $V$ di $f(z_0)$.
Per definizione esiste U tale che $f(U\setminus \{z_0\})\subseteq V$. (1)
Ora, considera $U$: per definizione esiste $T$ intorno di $x_0$ tale che $g(T\setminus {x_0})\subseteq U$.
Bene, noterai che questo fatto a priori non basta per dire che $f(g(T\setminus {x_0}))\subseteq V$, perché non è detto che $g(T\setminus {x_0})\subseteq U\setminus {z_0}$ (che è la condizione sufficiente fornita dalla equazione 1).
Ora quindi entra in gioco la continuità di $f$: nella (1), essendo $f$ continua, puoi rimpiazzare $U\setminus \{z_0\}$ con $U$, e questo ti autorizza a concludere.
Per definizione esiste U tale che $f(U\setminus \{z_0\})\subseteq V$. (1)
Ora, considera $U$: per definizione esiste $T$ intorno di $x_0$ tale che $g(T\setminus {x_0})\subseteq U$.
Bene, noterai che questo fatto a priori non basta per dire che $f(g(T\setminus {x_0}))\subseteq V$, perché non è detto che $g(T\setminus {x_0})\subseteq U\setminus {z_0}$ (che è la condizione sufficiente fornita dalla equazione 1).
Ora quindi entra in gioco la continuità di $f$: nella (1), essendo $f$ continua, puoi rimpiazzare $U\setminus \{z_0\}$ con $U$, e questo ti autorizza a concludere.
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