Analisi di funzione con parametro

[MetalFrancis]

Salve a tutti, la domanda penso sia piuttosto banale ma è uno di quei dubbi che mi sta bloccando in tutti gli esercizi. Spesso capita di fare lo studio di funzione con un parametro, come in foto, che però non so come determinare. Io studio i casi intorno allo zero, però perché poi nella soluzione i limiti vengono fatti con il lambda intorno al 2?

[Lo_zio_Tom]

ciao wookietookie...il testo del problema chiede di tracciare un grafico qualitativo per valori "significativi" di $ lambda $. Dato che al numeratore hai $x^lambda $ e al denominatore $ x^2 $ è ovvio che devi vedere cosa succede alla funzione quando $ lambda $ varia intorno a 2..... o no?

[MetalFrancis]

Mi spiace, sei il secondo che prova a suggerirmi lo stesso passaggio, ma io proprio non trovo l'ovvietà.. O almeno non capisco per quale motivo debba essere così. Cioè dato che lambda è un esponente e sotto l'esponente è definito da 2, devo studiare intorno a 2? Come mai per il limite che tende a 0 studio lambda intorno a 0?

[Lo_zio_Tom]

Perché al variare di lambda vicino al 2 cambia sensibilmente il valore della funzione. Pensa cosa succede al limite della funzione se lambda vale 1 oppure 2 oppure 3. Leggi bene la soluzione che hai postato perché è chiarissima

[@melia]

"Wookietookie": Come mai per il limite che tende a 0 studio lambda intorno a 0?

Perché se $lambda<0$ quel monomio che hai a numeratore $x^lambda$ diventa un denominatore, non annulla la funzione ma ne limita il dominio a $x!=0$. Ad esempio se $lambda= -1$ la funzione diventa $x^(-1)/(x^2+1)= 1/(x*(x^2+1))$ che non si annulla in zero, anzi lì proprio non esiste.