Analisi dei minimi e della limitatezza di una funzione
Salve,
ho questo esercizio:
"Sia assegnata:
$f(x)=x^2/3-log(x^2-4x)$
-si riesce a dimostrare che la funzione ammette esattamente due punti di minimo?
-si riesce a stabilire che la funzione è limitata inferiormente?"
Calcolo il dominio:
$(-\infty,0)uu(4,+\infty)$
Faccio la derivata e la pongo $>=0$:
$2/3x-(2x-4)/(x^2-4x) = (2(x-1)(x^2-3x-6))/(3x(x-4))>=0$
Lo studio del segno è il seguente:
I due minimi sono sicuramente $(3-sqrt(33))/2$ e $(3+sqrt(33))/2$
Per quanto riguarda la limitatezza inferiore ho da porvi una domanda:
c'è un modo formalmente corretto per dire che la funzione è limitata inferiormente senza dover calcolare i 4 limiti in $-\infty$ $0^-$ $4^+$ $+\infty$?
Intendo una spiegazione a parole del tipo: dal momento che ci sono solo minimi come punti estremanti, si può notare che nell'intervallo $(-\infty,0)$ il grafico della funzione sarà sempre al di sopra di $f((3-sqrt(33))/2)$, mentre nella restante parte del dominio $(4,+\infty)$ il grafico della funzione risulterà sempre al di sopra di $f((3+sqrt(33))/2)$.
Una spiegazione del genere sarebbe una valida dimostrazione della limitatezza inferiore?
Una spiegazione invece basata sul mostrare il grafico qualitativo ottenuto dallo studio del segno della derivata prima potrebbe essere valida?
Grazie in anticipo.
PS: non è per pigrizia o incapacità che non voglio calcolare il limiti, ma nell'ambito di un esame, risolvere il problema con una frase, mi farebbe guadagnare tempo rispetto al calcolo di 4 limiti.
ho questo esercizio:
"Sia assegnata:
$f(x)=x^2/3-log(x^2-4x)$
-si riesce a dimostrare che la funzione ammette esattamente due punti di minimo?
-si riesce a stabilire che la funzione è limitata inferiormente?"
Calcolo il dominio:
$(-\infty,0)uu(4,+\infty)$
Faccio la derivata e la pongo $>=0$:
$2/3x-(2x-4)/(x^2-4x) = (2(x-1)(x^2-3x-6))/(3x(x-4))>=0$
Lo studio del segno è il seguente:
I due minimi sono sicuramente $(3-sqrt(33))/2$ e $(3+sqrt(33))/2$
Per quanto riguarda la limitatezza inferiore ho da porvi una domanda:
c'è un modo formalmente corretto per dire che la funzione è limitata inferiormente senza dover calcolare i 4 limiti in $-\infty$ $0^-$ $4^+$ $+\infty$?
Intendo una spiegazione a parole del tipo: dal momento che ci sono solo minimi come punti estremanti, si può notare che nell'intervallo $(-\infty,0)$ il grafico della funzione sarà sempre al di sopra di $f((3-sqrt(33))/2)$, mentre nella restante parte del dominio $(4,+\infty)$ il grafico della funzione risulterà sempre al di sopra di $f((3+sqrt(33))/2)$.
Una spiegazione del genere sarebbe una valida dimostrazione della limitatezza inferiore?
Una spiegazione invece basata sul mostrare il grafico qualitativo ottenuto dallo studio del segno della derivata prima potrebbe essere valida?
Grazie in anticipo.
PS: non è per pigrizia o incapacità che non voglio calcolare il limiti, ma nell'ambito di un esame, risolvere il problema con una frase, mi farebbe guadagnare tempo rispetto al calcolo di 4 limiti.
Risposte
Se ha una funzione ha minimo di sicuro è limitata inferiormente.
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