[Analisi complessa]Residui
Rieccomi 
Ragazzi ho un dubbio sul risultato del seguente integrale:
$I=int_{|z|=2}1/((z-3)(z^16-1))dz$
Per $|z|=2$ intendo una circonferenza di centro l'origine e raggio 2.
Anzitutto studio le singolarità:
$z-3=0$ da cui $z=3$
$z^16-1=0$ da cui $z^16=1$
La prima singolarita è un polo semplice, per la seconda espressione invece i calcoli diventano piuttosto laboriosi , allora ricordando che
$sum_{i=1}^{16}(R_{f}(z_{i}))+R_{f}(3)+R_{f}(oo)=0$
Allora mi ricavo la somma dei sedici residui per differenza e avrò:
$sum_{i=1}^{16}(R_{f}(z_{i}))=-(R_{f}(3)+R_{f}(oo))$
Il residuo in $3$ poichè si tratta di un polo semplice lo ottengo da
$R_{f}(3)=lim_{z->3}(z-3)/((z-3)(z^16-1))=1/(3^16-1)$
Per il residuo all'infinito studio la funzione $g(w)=f(1/w)$ e risulterà che $R_{f}(oo)=R_{-g(w)/w^2}(0)$
Ora $-g(w)/w^2$ è olomorfa in 0 dunque il residuo è nullo.
Sarà quindi
$sum_{i=1}^{16}(R_{f}(z_{i}))=-(1/(3^16-1)))$
Applicando il teorema dei residui per calcolare l'integrale ottengo:
$I=2pij(-(1/3^16-1))+0)=-2pij(1/3^16-1).
Il risultato sul libro invece è
$2pij(1/(3^16-1))$.
Quindi o ho commesso io qualche errore o sul testo c'e un errore , qualcuno potrebbe contrallare se lo svolgimento è esatto?
Grazie mille in anticipo.
Ragazzi ho un dubbio sul risultato del seguente integrale:
$I=int_{|z|=2}1/((z-3)(z^16-1))dz$
Per $|z|=2$ intendo una circonferenza di centro l'origine e raggio 2.
Anzitutto studio le singolarità:
$z-3=0$ da cui $z=3$
$z^16-1=0$ da cui $z^16=1$
La prima singolarita è un polo semplice, per la seconda espressione invece i calcoli diventano piuttosto laboriosi , allora ricordando che
$sum_{i=1}^{16}(R_{f}(z_{i}))+R_{f}(3)+R_{f}(oo)=0$
Allora mi ricavo la somma dei sedici residui per differenza e avrò:
$sum_{i=1}^{16}(R_{f}(z_{i}))=-(R_{f}(3)+R_{f}(oo))$
Il residuo in $3$ poichè si tratta di un polo semplice lo ottengo da
$R_{f}(3)=lim_{z->3}(z-3)/((z-3)(z^16-1))=1/(3^16-1)$
Per il residuo all'infinito studio la funzione $g(w)=f(1/w)$ e risulterà che $R_{f}(oo)=R_{-g(w)/w^2}(0)$
Ora $-g(w)/w^2$ è olomorfa in 0 dunque il residuo è nullo.
Sarà quindi
$sum_{i=1}^{16}(R_{f}(z_{i}))=-(1/(3^16-1)))$
Applicando il teorema dei residui per calcolare l'integrale ottengo:
$I=2pij(-(1/3^16-1))+0)=-2pij(1/3^16-1).
Il risultato sul libro invece è
$2pij(1/(3^16-1))$.
Quindi o ho commesso io qualche errore o sul testo c'e un errore , qualcuno potrebbe contrallare se lo svolgimento è esatto?
Grazie mille in anticipo.
Risposte
l'errore sta qua:
ci hai messo un meno di troppo!! visto che la somma dei residui interni deve essere uguale a quella dei residui esterni... non opposta...
"Otherguy2k":
La prima singolarita è un polo semplice, per la seconda espressione invece i calcoli diventano piuttosto laboriosi , allora ricordando che
$sum_{i=1}^{16}(R_{f}(z_{i}))+R_{f}(3)+R_{f}(oo)=0$
Allora mi ricavo la somma dei sedici residui per differenza e avrò:
$sum_{i=1}^{16}(R_{f}(z_{i}))=-(R_{f}(3)+R_{f}(oo))$
ci hai messo un meno di troppo!! visto che la somma dei residui interni deve essere uguale a quella dei residui esterni... non opposta...
Grazie per la risp 
Però ora ho notato un altra cosa ma il punto $z=3$ non si trova fuori la circonferenza di raggio 2 dunque non dovrebbe essere scartato?
Però ora ho notato un altra cosa ma il punto $z=3$ non si trova fuori la circonferenza di raggio 2 dunque non dovrebbe essere scartato?
Forse ci sono XD
Allora poichè $I$ e uguale alla somma dei residui interni per $2pij$, e la somma dei residui interni è uguale alla somma dei residui esterni allora $I=2pij(R_{f}(3)+R_{f}(oo))$.
C'ho azzeccato?
Allora poichè $I$ e uguale alla somma dei residui interni per $2pij$, e la somma dei residui interni è uguale alla somma dei residui esterni allora $I=2pij(R_{f}(3)+R_{f}(oo))$.
C'ho azzeccato?
scusa...
ma...
hai usato quel residuo per calcolare i residui interni!!!!!
ma... hai usato quel residuo per calcolare i residui interni!!!!!
esatto!!!! 
Benissimo XD
Grazie per l'aiuto
Grazie per l'aiuto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo