[Analisi complessa] Trasformata zeta

[fireball-votailprof]

Calcolare la trasformata zeta della sequenza:
$x[n]=a^{n}u[n]+b^{n}u[-n-1]$, $|b|>|a|$ ($u[n]$ è la sequenza gradino unitario)

Sulle slide essa risulta:
$X(z)=\frac{[2z-(a+b)z]}{(z-a)(z-b)}$

A me invece viene

$X(z)=\frac{z(a-2b)}{(z-a)(z-b)}, |a|<|z|<|b|$

chi ha ragione?

[gugo82]

Sinceramente, non mi trovo con nessuno dei due risultati...

Qui di seguito uso la trasformata bilatera definita ome segue:
\[
\mathcal{Z}\big[x(n)\big](z) := \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{x(n)}{z^n}
\]
ed il gradino unitario:
\[
\operatorname{u}(n) := \begin{cases} 0 &\text{, se } n<0 \\ 1 &\text{, se } n\geq 0\end{cases}
\]
La trasformata del primo addendo è banale, poiché si usa subito la serie geometrica:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z} \big[ a^n \operatorname{u}(n)\big] (z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{z^n} \\
&= \frac{1}{1-\frac{a}{z}}\\
&= \frac{z}{z-a}
\end{split}
\]
con convergenza per \(|z|>|a|\); ma anche la trasformata del secondo addendo è semplice poiché, fatti i dovuti magheggi, si riconduce alla solita serie geometrica:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z} \big[ b^n \operatorname{u}(-n-1)\big] (z) &= \sum_{-n-1=0}^\infty \frac{b^n}{z^n} \\
&= \sum_{-n=1}^\infty \frac{b^n}{z^n}\\
&\stackrel{m=-n}{=} \sum_{m=1}^\infty \frac{z^m}{b^m}\\
&= \sum_{m=0}^\infty \frac{z^m}{b^m}\ -1\\
&= \frac{1}{1-\frac{z}{b}} -1\\
&= \frac{b}{b-z} -1\\
&= \frac{z}{b-z}
\end{split}
\]
con convergenza per \(|z|<|b|\); quindi, mettendo insieme:
\[
X(z) = \frac{z}{z-a} + \frac{z}{b-z} = \frac{(b-a)\ z}{(z-a)(b-z)}
\]
per \(|a|<|z|<|b|\).

Quindi direi che io ho ragione e voialtri torto.

[fireball-votailprof]

Si, in effetti ho sbagliato a copiare dalla mia scrittura come un asino!

Ottenevo:

$X(z)=\frac{z(a-b)}{(z-a)(z-b)}, |a|<|z|<|b|$

[fireball-votailprof]

Sottolineo, inoltre, che quello delle slide dovrebbe essere il risultato che si otterrebbe se tra le due sequenze monolatere ci fosse il segno meno