Analisi Complessa: Teorema di Cauchy
Buongiorno a tutti,
Sto avendo qualche difficoltà con il teorema di Cauchy. In particolare sto trovando enunciati differenti da diverse fonti.
In alcune fonti trovo il teorema enunciato così:
La dimostrazione è banale, le forme $Re{f(z)dz}$ e $Im{f(z)dz}$ sono ovviamente chiuse per le condizioni di Cauchy-Riemann, il dominio è semplicemente connesso, allora le forme sono esatte.
Detto ciò, per l'esattezza nel Cicogna, si dice che si può rilassare l'ipotesi di semplice connessione e considerare anche un insieme "bucato" ottenendo il seguente teorema:
Saltando ora altri enunciati che ho trovato su altri testi, vengo agli appunti presi a lezione.
L'enunciato 1) è uguale a quello scritto ad inizio post. Il 2) mi sembra equivalente in quanto, se un circuito è omotopo ad una costante, significa che l'area da esso racchiusa è semplicemente connessa. Giusto?
Per quanto riguarda il 3) mi sarebbe chiaro se fossero due curve non chiuse, ma essendo due circuiti non saprei come dimostrarlo. Idem per il 4).
Il prof a lezione ha fatto solo la dimostrazione del 2) mostrando che le forme sono esatte.
Detto tutto ciò non riesco innanzi tutto a capire quale sia l'enunciato originale del teorema e poi come dimostrare i punti 3) e 4). Inoltre non mi spiego come mai non abbia fatto riferimento alla formula che riporta il Cicogna per un insieme che non sia semplicemente connesso.
Spero possiate darmi una mano a capire
Sto avendo qualche difficoltà con il teorema di Cauchy. In particolare sto trovando enunciati differenti da diverse fonti.
In alcune fonti trovo il teorema enunciato così:
Sia $f$ una funzione olomorfa in un insieme $A$ semplicemente connesso. Per ogni curva semplice e chiusa $\gamma$ in $A$ si ha:
\[
\oint_\gamma f(z)dz = 0
\]
La dimostrazione è banale, le forme $Re{f(z)dz}$ e $Im{f(z)dz}$ sono ovviamente chiuse per le condizioni di Cauchy-Riemann, il dominio è semplicemente connesso, allora le forme sono esatte.
Detto ciò, per l'esattezza nel Cicogna, si dice che si può rilassare l'ipotesi di semplice connessione e considerare anche un insieme "bucato" ottenendo il seguente teorema:
Sia $f$ una funzione olomorfa in un insieme $A$.Si consideri una curva generalmente regolare $\Gamma$ in $A$ che racchiude $p$ buchi. Sia $\gamma_i$ una curva che racchiude l'$i$-esimo buco anch'essa racchiusa da $\Gamma$. Allora:
\[
\oint_\Gamma f(z)dz = \sum_{i = 0}^{p} \oint_{{\gamma}_i} f(z)dz
\]
Saltando ora altri enunciati che ho trovato su altri testi, vengo agli appunti presi a lezione.
Sia $f$ olomorfa in $\Omega$. Allora:
1) Per ogni circuito (curva chiusa) $\Omega$-omotopo ad una costante si ha: \[\oint_{\gamma}f(z)dz = 0\]
2) Se $\Omega$ è semplicemente connesso, allora per ogni circuito $\gamma$ in $\Omega$: \[\oint_{\gamma}f(z)dz = 0\]
3) Siano $\gamma_{1},\gamma_2$ circuiti tra loro $\Omega$-omotopi. Allora: \[\oint_{\gamma_1}f(z)dz = \oint_{\gamma_2}f(z)dz\]
4) Se U è un insieme tale che $ \subset \Omega$ e $\partial U$ è $C^1$ a tratti, allora: \[\int_{\partial U}f(z)dz = 0\]
L'enunciato 1) è uguale a quello scritto ad inizio post. Il 2) mi sembra equivalente in quanto, se un circuito è omotopo ad una costante, significa che l'area da esso racchiusa è semplicemente connessa. Giusto?
Per quanto riguarda il 3) mi sarebbe chiaro se fossero due curve non chiuse, ma essendo due circuiti non saprei come dimostrarlo. Idem per il 4).
Il prof a lezione ha fatto solo la dimostrazione del 2) mostrando che le forme sono esatte.
Detto tutto ciò non riesco innanzi tutto a capire quale sia l'enunciato originale del teorema e poi come dimostrare i punti 3) e 4). Inoltre non mi spiego come mai non abbia fatto riferimento alla formula che riporta il Cicogna per un insieme che non sia semplicemente connesso.
Spero possiate darmi una mano a capire
Risposte
Aggiornamento:
Consultando alcuni testi mi sono chiarito i punti 3) e 4).
Ho capito inoltre che la dimostrazione del teorema è ben più complicata se si rinuncia all'ipotesi che $u,v \in C^1$ dove $u(x,y) = Re{f}$ e $v(x,y) = Im{f}$
La domanda che mi sorge ora è, ma essendo la funzione $f$ olomorfa anche analitica, e quindi $C^{\infty}$, questo non implica che $u,v \in C^1$?
Grazie
Consultando alcuni testi mi sono chiarito i punti 3) e 4).
Ho capito inoltre che la dimostrazione del teorema è ben più complicata se si rinuncia all'ipotesi che $u,v \in C^1$ dove $u(x,y) = Re{f}$ e $v(x,y) = Im{f}$
La domanda che mi sorge ora è, ma essendo la funzione $f$ olomorfa anche analitica, e quindi $C^{\infty}$, questo non implica che $u,v \in C^1$?
Grazie
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