Analisi complessa: sviluppi di Taylor attorno a infinito
Come si fa a scrivere praticamente lo sviluppo attorno a infinito di una certa funzione complessa, come per esempio
$e^{iz}$?
Mi si dice di usare gli integrali
$a_k =\int_\gamma \frac{f(z)}{z^{k+1}}$
dove la curva gamma appartiene a un intorno dell'infinito in cui la funzione è analitica. Solo che questo sviluppo sembra coincidere con quello attorno a z=0..ma chi mi dice che coincidano?
Grazie
$e^{iz}$?
Mi si dice di usare gli integrali
$a_k =\int_\gamma \frac{f(z)}{z^{k+1}}$
dove la curva gamma appartiene a un intorno dell'infinito in cui la funzione è analitica. Solo che questo sviluppo sembra coincidere con quello attorno a z=0..ma chi mi dice che coincidano?
Grazie
Risposte
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La questione sta tutta nella scelta della curva \(\gamma\).
Se la funzione \(f\) è analitica su \( \mathbb{C} \smallsetminus \{0\} \), allora sì, la formula che definisce \(a_k\) dà lo stesso risultato in \(z = 0\) e in \(z = \infty\): infatti esiste un'omotopia (in \( \mathbb{C} \smallsetminus \{0\} \) appunto) tra le curve chiuse intorno a \(z = 0\) e quelle intorno a \(z = \infty\). Questo non sarebbe più vero se \(f\) avesse una singolarità da qualche parte in \( \mathbb{C} \smallsetminus \{0\} \). Spero che questo chiarisca le tue perplessità.
P.S. La formula per gli \(a_k\) mi sembra vera a meno di un fattore \(2\pi i\).
Se la funzione \(f\) è analitica su \( \mathbb{C} \smallsetminus \{0\} \), allora sì, la formula che definisce \(a_k\) dà lo stesso risultato in \(z = 0\) e in \(z = \infty\): infatti esiste un'omotopia (in \( \mathbb{C} \smallsetminus \{0\} \) appunto) tra le curve chiuse intorno a \(z = 0\) e quelle intorno a \(z = \infty\). Questo non sarebbe più vero se \(f\) avesse una singolarità da qualche parte in \( \mathbb{C} \smallsetminus \{0\} \). Spero che questo chiarisca le tue perplessità.
P.S. La formula per gli \(a_k\) mi sembra vera a meno di un fattore \(2\pi i\).
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