Analisi complessa - Residuo di funzioni
Ciao a tutti! Ho dei problemi con un determinato tipo di domande, riguardanti sempre la stessa cosa:
$ sin(z)/z^2+2/(z+i) $
E' un quiz ed in questo caso chiede praticamente che tipo di polo è lo 0, ma mi piacerebbe analizzarlo meglio..
Prima di tutto, il mio professore ha dato dei modi per vedere, in una funzione, il tipo di polo.. ad esempio considerando $ g(z)/(z-z0) $ è un polo semplice se g(z0) è diverso da 0 e g è olomorfa in un intorno di z0 ed una condizione simile per il caso in cui è un polo di ordine maggiore di 1...
Ma in questo caso come posso fare? Devo fare il minimo comune multiplo? Perchè non mi trovo esattamente nella forma data.. quindi avevo pensado di calcolare il minimo comune multiplo trovando
$ (sin(z)*(z+i)+2*z^2)/(z^2*(z+i)) $
A questo punto però sostituendo trovavo che g(z0)=0, invece la soluzione dice che è un polo semplice... insomma so di aver combinato un pasticcio, ma vorrei sapere da quando ho cominciato a pasticciare...
Dopo che questo metodo ha fallito ho provato a sviluppare il seno, ottenendo dopo tutti i calcoli
$ 2/(z+i) + 1/z +sum_(n=1 )z^(2n-1)/((2n+1)!) $
Dove 1/z deriva dal fatto che inizialmente avevo come indice 2n-1, quindi ho portato fuori le potenze negative, essendo solo una, secondo quello che ho letto in giro, allora il polo è semplice...
Spero di non aver fatto troppi casini, ho preferito scrivere tutti i passaggi che ho fatto per essere piu chiaro, ma forse ho solo incasinato di piu' le cose
$ sin(z)/z^2+2/(z+i) $
E' un quiz ed in questo caso chiede praticamente che tipo di polo è lo 0, ma mi piacerebbe analizzarlo meglio..
Prima di tutto, il mio professore ha dato dei modi per vedere, in una funzione, il tipo di polo.. ad esempio considerando $ g(z)/(z-z0) $ è un polo semplice se g(z0) è diverso da 0 e g è olomorfa in un intorno di z0 ed una condizione simile per il caso in cui è un polo di ordine maggiore di 1...
Ma in questo caso come posso fare? Devo fare il minimo comune multiplo? Perchè non mi trovo esattamente nella forma data.. quindi avevo pensado di calcolare il minimo comune multiplo trovando
$ (sin(z)*(z+i)+2*z^2)/(z^2*(z+i)) $
A questo punto però sostituendo trovavo che g(z0)=0, invece la soluzione dice che è un polo semplice... insomma so di aver combinato un pasticcio, ma vorrei sapere da quando ho cominciato a pasticciare...
Dopo che questo metodo ha fallito ho provato a sviluppare il seno, ottenendo dopo tutti i calcoli
$ 2/(z+i) + 1/z +sum_(n=1 )z^(2n-1)/((2n+1)!) $
Dove 1/z deriva dal fatto che inizialmente avevo come indice 2n-1, quindi ho portato fuori le potenze negative, essendo solo una, secondo quello che ho letto in giro, allora il polo è semplice...
Spero di non aver fatto troppi casini, ho preferito scrivere tutti i passaggi che ho fatto per essere piu chiaro, ma forse ho solo incasinato di piu' le cose
Risposte
Infatti secondo me conviene sviluppare il seno, basta il primo ordine. (Non sono un ingegnere, e penso che per calcolare residui la strada è sempre quella di sviluppare lo sviluppabile. Le formule pronte non riesco mai a ricordarle. Però probabilmente un ingegnere non sarà d'accordo con me)
Perfetto, quindi i passaggi che ho fatto vanno bene almeno gli ultimi... volevo chiedere, in generale in questa funzione oltre al termine col seno, c'è 2/(z+i), ma questo non c'entra nulla? Esistono casi in cui devo considerare tutti i termini? Quello che mi viene in mente è che in questo caso, mi interessa soltanto il residuo in zero, quindi ho sviluppato il termine per il quale il denominatore si annulla in 0...
Giusto per essere chiari, se avessi dovuto studiare il residuo di -i, avrei lasciato perdere invece il termine col seno
Giusto per essere chiari, se avessi dovuto studiare il residuo di -i, avrei lasciato perdere invece il termine col seno
Quella funzione è olomorfa in un intorno di \(0\), quindi non contribuisce al residuo. In termini ancora più terra-terra, se tu sviluppi quella funzione otterrai una formula di questo tipo:
\[
\frac2{z+i}=a_0+a_1z+\ldots \]
(non è importante determinare esattamente i coefficienti. Quindi, sommando questa funzione a \(\frac{\sin z}{z^2}\), non si modifica il coefficiente di \(z^{-1}\), che è quello che determina il residuo.
\[
\frac2{z+i}=a_0+a_1z+\ldots \]
(non è importante determinare esattamente i coefficienti. Quindi, sommando questa funzione a \(\frac{\sin z}{z^2}\), non si modifica il coefficiente di \(z^{-1}\), che è quello che determina il residuo.
Grazie mille! Credo di aver capito, ma vorrei proporti un ultimo esempio
$ e^(2z)/(z^2)+1/z+sin(z^2)/(z^2) $
In cui devo capire che tipo di polo è lo 0... sviluppo seno ed esponenziale e dall'esponenziale vengono fuori due componenti della sommatoria, mentre dal seno nessuno.
Ora da qui concluiderei che 0 è un polo doppio, ma non capisco bene come avrei fatto ad "unire" le soluzioni se fosse stato un caso diverso
Ad esempio se dall'esponenziale avessi cacciato due componenti, mentre dal seno solo 1, sarebbe stato sempre un polo doppio?
$ e^(2z)/(z^2)+1/z+sin(z^2)/(z^2) $
In cui devo capire che tipo di polo è lo 0... sviluppo seno ed esponenziale e dall'esponenziale vengono fuori due componenti della sommatoria, mentre dal seno nessuno.
Ora da qui concluiderei che 0 è un polo doppio, ma non capisco bene come avrei fatto ad "unire" le soluzioni se fosse stato un caso diverso
Ad esempio se dall'esponenziale avessi cacciato due componenti, mentre dal seno solo 1, sarebbe stato sempre un polo doppio?
Buh, francamente faccio fatica a capire cosa tu intenda. Io lì vedo tre addendi: uno si può sviluppare come
\[
\frac{e^{2z}}{z^2}=\frac{1}{z^2} + \frac{2}{z} + \ldots, \]
quindi ha un polo di ordine \(2\) con residuo uguale a \(2). Un'altra ha un polo di ordine \(1\) con residuo pari a \(1\) è l'altra ancora ha una singolarità eliminabile, quindi non contribuisce al residuo.
\[
\frac{e^{2z}}{z^2}=\frac{1}{z^2} + \frac{2}{z} + \ldots, \]
quindi ha un polo di ordine \(2\) con residuo uguale a \(2). Un'altra ha un polo di ordine \(1\) con residuo pari a \(1\) è l'altra ancora ha una singolarità eliminabile, quindi non contribuisce al residuo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo