Analisi complessa: residuo all'infinito
Salve a tutti!
Sto studiando analisi complessa, in particolare i residui. Mi sono stati la definizione e i teoremi per quando il punto rispetto a cui calcolare il residuo è un polo. Poi mi sono imbattuto in questo esercizio:
Data $ f(z)= (e^{iz}) / (z^2+1) $ calcolare il residuo della forma $ f(z)dz $ all'infinito.
Per definizione questo è lo stesso che il residuo di $ g(w):=-1 /w^2 f(1 /w) dw $ in $w=0$.
Vale $ g(w) = (-e^{i/w}) / (w^2+1) $. Così $w=0$ non è più una singolarità polare ma essenziale, dato che il numeratore espande come $ sum_(k = 0)^(oo )(i/w)^k $ ,cioè ha tutta parte singolare, e il denominatore è olomorfo in $w=0$.
Dunque le formule che ho non mi servono, e d'altra parte non riesco a vedere come sviluppare tutta la funzione in serie di Laurent. Infatti al più riesco a sviluppare il denominatore come $ sum_(k = 0)^(oo )(iw)^(2k) $ , ma non mi sembra serva a molto. C'è un altro modo più intelligente?
Grazie ciao!
Sto studiando analisi complessa, in particolare i residui. Mi sono stati la definizione e i teoremi per quando il punto rispetto a cui calcolare il residuo è un polo. Poi mi sono imbattuto in questo esercizio:
Data $ f(z)= (e^{iz}) / (z^2+1) $ calcolare il residuo della forma $ f(z)dz $ all'infinito.
Per definizione questo è lo stesso che il residuo di $ g(w):=-1 /w^2 f(1 /w) dw $ in $w=0$.
Vale $ g(w) = (-e^{i/w}) / (w^2+1) $. Così $w=0$ non è più una singolarità polare ma essenziale, dato che il numeratore espande come $ sum_(k = 0)^(oo )(i/w)^k $ ,cioè ha tutta parte singolare, e il denominatore è olomorfo in $w=0$.
Dunque le formule che ho non mi servono, e d'altra parte non riesco a vedere come sviluppare tutta la funzione in serie di Laurent. Infatti al più riesco a sviluppare il denominatore come $ sum_(k = 0)^(oo )(iw)^(2k) $ , ma non mi sembra serva a molto. C'è un altro modo più intelligente?
Grazie ciao!
Risposte
Perchè non provare invece col terzo teorema dei residui?
Insomma visto che:
[tex]$-\text{Res}(f;\infty) =\sum_{\text{$\zeta$ singolare al finito per $f$}} \text{Res} (f;\zeta) =\text{Res} (f;\imath) +\text{Res} (f;-\imath)$[/tex],
mi pare proprio la via più semplice (anche perchè [tex]$\pm \imath$[/tex] sono poli d'ordine [tex]$1$[/tex] per [tex]$f$[/tex]).
Insomma visto che:
[tex]$-\text{Res}(f;\infty) =\sum_{\text{$\zeta$ singolare al finito per $f$}} \text{Res} (f;\zeta) =\text{Res} (f;\imath) +\text{Res} (f;-\imath)$[/tex],
mi pare proprio la via più semplice (anche perchè [tex]$\pm \imath$[/tex] sono poli d'ordine [tex]$1$[/tex] per [tex]$f$[/tex]).
Il prof questo non ce l'ha fatto, grazie per avermelo segnalato. Dimmi se capisco bene l'idea: le singolarità di f al finito staranno dentro un disco compatto di raggio opportuno che chiamo $D$. Allora il complementare di $D$ è un intorno del punto all'infinito e l'indice del bordo di $D$ rispetto a tale punto è 1. Funziona così più o meno? Invece seguendo la strada che avevo cominciato io non si arriva da nessuna parte? Grazie ancora ciao
Sì, l'idea della dimostrazione è proprio quella.
molto bene grazie!
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