Analisi complessa parte immaginaria di una funz olomorfa
Salve a tutti , non riesco a risolvere il seguente esercizio :
Sapendo che [tex]q: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] è tale che q(0)=0, esplicitare la funzione [tex]v(x,y)= 3x^3+x \int_{0}^{y} q(t)dt[/tex] , con v(x,y) coefficiente della parte immaginaria di una funzione f(z) olomorfa.
Come dovrei ragionare?
Grazie
Sapendo che [tex]q: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] è tale che q(0)=0, esplicitare la funzione [tex]v(x,y)= 3x^3+x \int_{0}^{y} q(t)dt[/tex] , con v(x,y) coefficiente della parte immaginaria di una funzione f(z) olomorfa.
Come dovrei ragionare?
Grazie
Risposte
Supponiamo che $f(x,y)=u(x,y)+i v(x,y)$ sia la tua funzione olomorfa. Le sue componenti (parte reale e immaginaria) devono soddisfare alcune particolari condizioni. Sai quali esse siano?
certo le condizioni di cauchy
Ecco.... a questo punto la cosa mi pare semplice.
eh ho provato in questo modo infatti ho fatto la derivata di v rispetto a y però come faccio a fare la derivata di quell'integrale? uscirebbe q(y)-Q'(0)? cioè è quell'integrale il problema
Se hai una funzione definita da integrale del tipo
$$F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,t)\ dt$$
allora si ha, applicando il Teorema fondamentale del calcolo,
$$\frac{d}{dx} F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\ dt+\beta'(x)\cdot f(x,\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(x,\alpha(x))$$
$$F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,t)\ dt$$
allora si ha, applicando il Teorema fondamentale del calcolo,
$$\frac{d}{dx} F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\ dt+\beta'(x)\cdot f(x,\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(x,\alpha(x))$$
si ma q dipende solo da t quindi non dovrebbe uscire solo Q(y)- Q(0) in questo caso? dove Q è la primitiva?
Ma applicare le formule no, eh? Nel tuo caso $\alpha(y)=0,\ \beta(y)=y,\ f(y,t)=q(t)$, e pertanto si ha come derivata dell'integrale $q(y)$, visto che il primo e l'ultimo termine nella formula che ho scritto vanno a zero.
ma non mi trovo con la tua formula cioè mi troverei se quel + fosse un uguale affianco all'integrale al secondo mebro quando applichi il tfc
"s904s":
ma non mi trovo con la tua formula cioè mi troverei se quel + fosse un uguale affianco all'integrale al secondo mebro quando applichi il tfc
E' questo quello che ti blocca ?
$(\partial)/(\partial x) q(t)$
no questo :
$$\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\ dt+\beta'(x)\cdot f(x,\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(x,\alpha(x))$$
al posto del + accanto a questo : $$\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\ dt$$ per me ci dovrebbe essere =
$$\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\ dt+\beta'(x)\cdot f(x,\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(x,\alpha(x))$$
al posto del + accanto a questo : $$\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\ dt$$ per me ci dovrebbe essere =
"s904s":
no questo :
$$\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\ dt+\beta'(x)\cdot f(x,\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(x,\alpha(x))$$
al posto del + accanto a questo : $$\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)\ dt$$ per me ci dovrebbe essere =
La funzione va benissimo così come l'ha scritta ciampax.
Capisco che non è di quelle semplici da digerire, ma è corretta.
Tu dovresti rispondere a questo però... quando vale $(\partial)/(\partialx)q(t)$ ?
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