Analisi Complessa: Indice di avvolgimento
Ciao a tutti, sto letteralmente impazzendo dietro al problema, banalissimo dal punto di vista grafico, di calcolare gli Indici di Avvolgimento nell'applicazione del Teorema dei Residui. Definendo una funzione $\theta (t)$ si può dimostrare che $1/(2\pi i)\int_\gamma dz/(z-z_0) = (\theta(b) - \theta(a)) / (2 \pi)$. L'integrale che compare nella formula tuttavia, sembrerebbe restituirmi un risultato nullo in qualunque caso, probabilmente perchè sbaglio ad applicare la parametrizzazione della curva.
Dovrebbe essere corretto quanto segue:
$r(t):[a,b] rarr RR$
$\int_y f(z)dz = \int_a^b f(r(t))r'(t)dt$
Operando nel medesimo modo per calcolare $1/(2\pi i)\int_\gamma dz/(z-z_0)$ trovo però dei problemi.
Esempio:
$r(t)=2i + 2e^(it)$ $t in [0,2\pi]$ (Circonferenza di centro $2i$ e raggio $2$)
$Ind(\gamma, i)=1/(2\pi i)\int_\gamma dz/(z-i)=1/(2\pi i)\int_0^(2\pi) 1/(2i + 2e^(it) - i) 2ie^(it) dt = 1/(2\pi i) [log(2e^(it)+i)]_0^(2\pi) = 0$
Spero possiate aiutarmi. Grazie
Dovrebbe essere corretto quanto segue:
$r(t):[a,b] rarr RR$
$\int_y f(z)dz = \int_a^b f(r(t))r'(t)dt$
Operando nel medesimo modo per calcolare $1/(2\pi i)\int_\gamma dz/(z-z_0)$ trovo però dei problemi.
Esempio:
$r(t)=2i + 2e^(it)$ $t in [0,2\pi]$ (Circonferenza di centro $2i$ e raggio $2$)
$Ind(\gamma, i)=1/(2\pi i)\int_\gamma dz/(z-i)=1/(2\pi i)\int_0^(2\pi) 1/(2i + 2e^(it) - i) 2ie^(it) dt = 1/(2\pi i) [log(2e^(it)+i)]_0^(2\pi) = 0$
Spero possiate aiutarmi. Grazie
Risposte
Il problema sta nel logaritmo complesso, che non è univocamente definito.
Se vuoi vedere la cosa in maniera elementare, scrivi l'integrale come
$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{2e^{it}}{2e^{it}+i} dt = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(1-\frac{i}{2e^{it}+i}) dt=$
$= 1- \frac{i}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1}{2e^{it}+i} dt$.
Riscriviamo ora l'ultimo integrale, osservando che
$\frac{1}{2e^{it}+i} = \frac{1}{2\cos t + (2\sin t + 1)i} = \frac{2\cos t - (2 \sin t + 1)i}{5+4\sin t}$.
Abbiamo dunque che
$\int_0^{2\pi}\frac{1}{2e^{it}+i} dt = \int_0^{2\pi} \frac{2\cos t}{5+4\sin t} dt - i \int_0^{2\pi} \frac{2 \sin t + 1}{5+4\sin t} dt$.
Il primo integrale si calcola subito e fa $0$.
Il secondo richiede più lavoro ma si annulla anche lui.
Se vuoi vedere la cosa in maniera elementare, scrivi l'integrale come
$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{2e^{it}}{2e^{it}+i} dt = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(1-\frac{i}{2e^{it}+i}) dt=$
$= 1- \frac{i}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1}{2e^{it}+i} dt$.
Riscriviamo ora l'ultimo integrale, osservando che
$\frac{1}{2e^{it}+i} = \frac{1}{2\cos t + (2\sin t + 1)i} = \frac{2\cos t - (2 \sin t + 1)i}{5+4\sin t}$.
Abbiamo dunque che
$\int_0^{2\pi}\frac{1}{2e^{it}+i} dt = \int_0^{2\pi} \frac{2\cos t}{5+4\sin t} dt - i \int_0^{2\pi} \frac{2 \sin t + 1}{5+4\sin t} dt$.
Il primo integrale si calcola subito e fa $0$.
Il secondo richiede più lavoro ma si annulla anche lui.
Ma il risultato del calcolo dovrebbe essere $1$. Rappresentando infatti sul piano complesso la suddetta circonferenza risulta facile osservare che l'indice di avvolgimento per $i$ è esattamente $1$.
Infatti viene $1$.
Se guardi i conti, dopo i primi passaggi hai $1$ + gli integrali che poi vengono nulli.
Se guardi i conti, dopo i primi passaggi hai $1$ + gli integrali che poi vengono nulli.
Ops, non avevo notato. Grazie mille! Sbagliavo quindi a trattare il logaritmo complesso come fosse reale.
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