Analisi Complessa - Formula integrale di Cauchy

[Sk_Anonymous]

Non riesco proprio a capire questo teorema:






Dove viene utilizzata la condizione che $z_0$ è contenuto all'interno di $Omega$?

[irenze]

Se $z_0$ fosse sul bordo, non portesti integrare sulla curva $\gamma$.

Se invece vuoi sapere perché, quando prendi $f$ differenziabile su $\Omega' \supset \Omega$, la formula vale comunque solo per $z_0 \in \Omega$, la risposta sta nell'Esercizio 2.3.2 e nell'affermazione seguente: se infatti $z_0 \notin \Omega$, la funzione $(f(z))/(z-z_0)$ è differenziabile in $\Omega$, e il suo integrale sulla frontiera i $\Omega$ fa $0$.

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio per il tuo aiuto, anche se credo che tu abbia commesso un errore: la differenziabilità di una funzione in un punto non dipende dalla scelta di un altro punto.

[irenze]

Nessun errore, la tua funzione $h(z) = (f(z))/(z-z_0)$ dipende da un parametro (il punto $z_0$) e quindi la sua differenziabilità può dipendere anch'essa dal parametro.

Se $z_0 \in \Omega$, la funzione $(f(z))/(z-z_0)$ è differenziabile in $\Omega \setminus z_0$, non in tutto $\Omega$, quindi non puoi dire che $\int_\gamma(f(z))/(z-z_0) dz = 0$ ma devi fare quello che fa la dimostrazione (scomporre in due pezzi, di cui uno differenziabile e uno di cui sai fare l'integrale).
Al contrario, se $z_0$ è esterno al dominio racchiuso da $\gamma$, cioè $z_0 \notin \Omega$, l'integrale sulla curva chiusa $\gamma$ di $h$ fa zero per il teorema di Morera.

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio per gli ulteriori chiarimenti
Avevo anche tralasciato il fatto che l'insieme aperto in cui $f$ è differenziabile deve essere semplicemente connesso, nelle ipotesi del teorema di Morera

[Thomas16]

OT:
curiosità... Irenze come mai stai in Germania? non mi pare che tu ci sia sempre stata, l'avrei notato in precedenza altrimenti...

[irenze]

In effetti non ci sono sempre stata. Mi ci sono trasferita da un anno per il dottorato, prima stavo a Roma.