[Analisi Complessa] Alcune domande e delucidazioni
Ciao a tutti!
Vi faccio delle brevi domande su alcuni dubbi che mi sono sorti per quanto riguarda argomenti di analisi complessa, spero mi sappiate aiutare!
1) Studio delle serie:
Quando applico i vari criteri per trovare il raggio di una serie devo isolare con precisione il coefficiente che identifico come $a_n$ oppure posso utilizzare scorciatoie più veloci?
Vi faccio un esempio, io ho questa serie di potenze:
$\sum_{n=1}^infty ((z-1)^n)/((n^3)(4i)^n)$
Considero come termine $a_n$ solo $1/((n^3)(4i)^n)$ ed applico il criterio del rapporto ottenendo che il raggio è 1.
A questo punto concludo che la serie converge assolutamente : $|z-1| < 1$
e dato anche che il comportamento generale della serie è del tipo $1/n^3$ allora la serie converge anche uniformemente nella e sulla circonferenza, quindi $|z-1| <= 1$
E' un procedimento corretto? Oppure devo considerare come $a_n$ solo $1/n^3$ ed includere il termine $4i$ insieme con $(z-1)/(4i)$? però poi così otterrei una circonferenza diversa $|z-1| <= 4$
Secondo me è corretto il primo procedimento e non il secondo.
2) Dominio di funzioni
Per studiare il dominio o gli zeri di una funzione io cerco di scrivere il tutto sotto la forma: $z = x + iy$ facendo questo ragionamento:
es. $e^(z-6) -1$
me lo riscrivo nella forma più comoda:
$e^(x-6) * (cosy + isiny) = e^0
da cui: la parte reale risulta $x-6 =0 -> x = 6$ e la parte immaginaria risulta: $cosy +isiny = 1 -> y = 2k\pi $
Quindi trovo che gli zeri sono $z = 6 + i*2k\pi$
Secondo voi è un modo corretto di ragionare?
Vi faccio delle brevi domande su alcuni dubbi che mi sono sorti per quanto riguarda argomenti di analisi complessa, spero mi sappiate aiutare!
1) Studio delle serie:
Quando applico i vari criteri per trovare il raggio di una serie devo isolare con precisione il coefficiente che identifico come $a_n$ oppure posso utilizzare scorciatoie più veloci?
Vi faccio un esempio, io ho questa serie di potenze:
$\sum_{n=1}^infty ((z-1)^n)/((n^3)(4i)^n)$
Considero come termine $a_n$ solo $1/((n^3)(4i)^n)$ ed applico il criterio del rapporto ottenendo che il raggio è 1.
A questo punto concludo che la serie converge assolutamente : $|z-1| < 1$
e dato anche che il comportamento generale della serie è del tipo $1/n^3$ allora la serie converge anche uniformemente nella e sulla circonferenza, quindi $|z-1| <= 1$
E' un procedimento corretto? Oppure devo considerare come $a_n$ solo $1/n^3$ ed includere il termine $4i$ insieme con $(z-1)/(4i)$? però poi così otterrei una circonferenza diversa $|z-1| <= 4$
Secondo me è corretto il primo procedimento e non il secondo.
2) Dominio di funzioni
Per studiare il dominio o gli zeri di una funzione io cerco di scrivere il tutto sotto la forma: $z = x + iy$ facendo questo ragionamento:
es. $e^(z-6) -1$
me lo riscrivo nella forma più comoda:
$e^(x-6) * (cosy + isiny) = e^0
da cui: la parte reale risulta $x-6 =0 -> x = 6$ e la parte immaginaria risulta: $cosy +isiny = 1 -> y = 2k\pi $
Quindi trovo che gli zeri sono $z = 6 + i*2k\pi$
Secondo voi è un modo corretto di ragionare?
Risposte
"rocco.g":
Considero come termine $a_n$ solo $1/((n^3)(4i)^n)$ ed applico il criterio del rapporto ottenendo che il raggio è 1.
Ehhm, se $a_n=1/((n^3)(4i)^n)$, applicando il criterio del rapporto a $|a_n|$ ottieni
$\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\frac{1/{(n+1)^3(4)^{n+1}}}{1/((n^3)(4)^n)}=1/4 (\frac{n}{n+1})^3\to 1/4$
da cui il raggio di convergenza e' $4$ - che e' lo stesso che ottieni con il secondo metodo. Anche il secondo metodo e' infatti corretto
(e' basato su un "cambio di variabile")
La seconda domanda non e' chiarissima - mi sembra comunque che tu voglia calcolare gli zeri di $e^{z-6}-1$. In questo caso i tuoi calcoli
mi sembrano giusti.
emh, scusami! ho scritto una traccia ed ho copiato lo svolgimento che avevo fatto di quella dopo!
Anche io mi ero accorto che se applico i due procedimenti nei vari esercizi ottengo dei risultati simili, ma non so se è un caso oppure se sono entrambi validi, nel qual caso, quale sarebbe da preferire?
Per il secondo si, dovevo trovare gli zeri e mi sono inventato quel procedimento, non so se si può fare... o se ne esiste uno più semplice...
Anche io mi ero accorto che se applico i due procedimenti nei vari esercizi ottengo dei risultati simili, ma non so se è un caso oppure se sono entrambi validi, nel qual caso, quale sarebbe da preferire?
Per il secondo si, dovevo trovare gli zeri e mi sono inventato quel procedimento, non so se si può fare... o se ne esiste uno più semplice...
"rocco.g":
emh, scusami! ho scritto una traccia ed ho copiato lo svolgimento che avevo fatto di quella dopo!
Anche io mi ero accorto che se applico i due procedimenti nei vari esercizi ottengo dei risultati simili, ma non so se è un caso oppure se sono entrambi validi, nel qual caso, quale sarebbe da preferire?
Per il secondo si, dovevo trovare gli zeri e mi sono inventato quel procedimento, non so se si può fare... o se ne esiste uno più semplice...
No problem. I due procedimenti sono entrambi corretti - nel senso che se ti trovi una serie che del tipo $\sum_{n=0}^\infty a_n \frac{(z-z_0)^n}{A^n}$ puoi sempre studiarla studiando
$\sum_{n=0}^\infty a_n w^n$ e poi sostituendo $w=\frac{z-z_0}{A}$ (e forse questo sistema e' leggermente piu' semplice).
Per il secondo problema potevi evitare di introdurre $x$ e $y$ (ricordando le proprieta' dell'esponenziale complesso): $e^{z-6}=e^0\Leftrightarrow z-6=2 k i \pi\Leftrightarrow z=6+2 k i \pi$
ma non cambiava molto - in esempi piu' complicati puo' essere necessario un po' di intuito per evitare di imbarcarsi su strade complicate.
ma è sempre valido scrivere l'esponenziale in quella forza e porlo uguale a $2ik\pi$ ?
"rocco.g":
ma è sempre valido scrivere l'esponenziale in quella forza e porlo uguale a $2ik\pi$ ?
Quale forma (forza??) ? Se intendi $e^{x+iy}=e^x(\cos(y)+i\sin(y)$, certo che e' valido (per definizione). Infatti dicevo
che i tuoi calcoli sono giusti; mettevo solo in evidenza che certe proprieta' dell'esponenziale (dopo averle
verificate mediante la definizione) sarebbe meglio averle ben presenti senza doverle ricostruire; per esempio
si ha $e^z=e^{z_0}\Leftrightarrow z=z_0+2k\pi i$. in casi piu' complicati poi e' spesso piu' utile ragionare in termini
di modulo e argomento piuttosto che di parte reale e parte immaginaria (ma bisognerebbe discutere di esempi concreti
che ora non mi vengono in mente).
Si si, scusami, volevo scrivere "forma" e non "forza"...
Parlavo delle proprietà dell'esponenziale , non capivo perchè si pone sempre uguale a $2ki\pi$ qualunque sia l'argomento dell'esponenziale...
Per questo preferivo il mio metodo perchè riesco a ragionarlo meglio...
Parlavo delle proprietà dell'esponenziale , non capivo perchè si pone sempre uguale a $2ki\pi$ qualunque sia l'argomento dell'esponenziale...
Per questo preferivo il mio metodo perchè riesco a ragionarlo meglio...
Devi tenere a mente che l'esponenziale $e^z$ e' periodico di periodo $2\pi i$ e e che viceversa e' iniettivo se decidi che l'argomento di $z$
varia, per esempio, tra $]-\pi,\p]$ ( o un qualunque intervallo semiaperto di ampiezza $2\pi$). Per cui, come dicevo prima se devi risolvere
$e^z=w$ devi prima trovare una soluzione, diciamo $z_0$ e poi aggiungere tutti i multipli di $2\pi i$ per averle tutte,
varia, per esempio, tra $]-\pi,\p]$ ( o un qualunque intervallo semiaperto di ampiezza $2\pi$). Per cui, come dicevo prima se devi risolvere
$e^z=w$ devi prima trovare una soluzione, diciamo $z_0$ e poi aggiungere tutti i multipli di $2\pi i$ per averle tutte,
Grazie per le delucidazioni, ho fatto degli esercizi ed ho recuperato un pò di pratica sull'argomento... Quando sono immediate, in effetti, mi trovo meglio ad usare il metodo che avete proposto voi...
Ma se mi viene chiesto di trovare il luogo degli zeri di una funzione del genere: $f =(e^(z^2 + 1))/(z^4 + i)$, devo dire che la funzione non va mai a zero visto che non c'è niente a cui eguagliare l'esponenziale che non è mai uguale a zero, giusto? (Anche se $z^2+1$ facese zero, l'esponenziale darebbe in ogni caso 1 come risultato)
Ho un piccolo dubbio su questa convergenza:
$\sum_{n=0}^infty ((z-i)^n)/(( (2i)^n) (n^2 + 2))$
ho trovato che il raggio di convergenza è 2, solo che non so se concludere che converge anche uniformente o meno perchè non capisco se converga perchè al denominatore mi compare quel $1/2^n$ che mi lascia perplesso. Io sarei portato a dire che converge visto che il denominatore diventa sempre più grande...
Ma se mi viene chiesto di trovare il luogo degli zeri di una funzione del genere: $f =(e^(z^2 + 1))/(z^4 + i)$, devo dire che la funzione non va mai a zero visto che non c'è niente a cui eguagliare l'esponenziale che non è mai uguale a zero, giusto? (Anche se $z^2+1$ facese zero, l'esponenziale darebbe in ogni caso 1 come risultato)
Ho un piccolo dubbio su questa convergenza:
$\sum_{n=0}^infty ((z-i)^n)/(( (2i)^n) (n^2 + 2))$
ho trovato che il raggio di convergenza è 2, solo che non so se concludere che converge anche uniformente o meno perchè non capisco se converga perchè al denominatore mi compare quel $1/2^n$ che mi lascia perplesso. Io sarei portato a dire che converge visto che il denominatore diventa sempre più grande...
"rocco.g":
Grazie per le delucidazioni, ho fatto degli esercizi ed ho recuperato un pò di pratica sull'argomento... Quando sono immediate, in effetti, mi trovo meglio ad usare il metodo che avete proposto voi...
Ma se mi viene chiesto di trovare il luogo degli zeri di una funzione del genere: $f =(e^(z^2 + 1))/(z^4 + i)$, devo dire che la funzione non va mai a zero visto che non c'è niente a cui eguagliare l'esponenziale che non è mai uguale a zero, giusto? (Anche se $z^2+1$ facese zero, l'esponenziale darebbe in ogni caso 1 come risultato)
E' giusto, l'esponenziale, anche se di variabile complessa, non si annulla mai. Infatti $|e^z|=e^{Re(z)}\ne0$ qualunque sia $z$
Ho un piccolo dubbio su questa convergenza:
$\sum_{n=0}^infty ((z-i)^n)/(( (2i)^n) (n^2 + 2))$$[0,+\infty[$
ho trovato che il raggio di convergenza è 2, solo che non so se concludere che converge anche uniformente o meno perchè non capisco se converga perchè al denominatore mi compare quel $1/2^n$ che mi lascia perplesso. Io sarei portato a dire che converge visto che il denominatore diventa sempre più grande...
Le serie di potenze (come quella che tu porti ad esempio) convergono UNIFORMEMENTE su ogni disco chiuso di raggio MINORE del raggio di convergenza.
Se invece ti chiedi che succedede esattamente sul disco con raggio pari al raggio di convergenza devi ragionare caso per caso. Tieni presente che la sere di potenze
"piu' semplice" e cioe' la serie geometrica $\sum_n z^n$ NON CONVERGE uniformemente sul disco di raggio $1$ (altrimenti convergerebbe in $z=1$). Per farla convergere devi dividere $z^n$
per qualcosa di buono per esempio $\sum_{n=1}^\infty z^n/n^2$ va bene.
Nel tuo caso non e' tanto il $2^n$ ad aiutare o a dare fastidio (anzi se poni $w=(z-i)/(2i)$ ti ritrovi una serie piu' semplice in cui $2^n$ non c'e' piu'). Quello che conta, e che in questo caso
aiuta e' il termine $n^2+2$ a denonimatore, che fa si' che la serie sia totalmente (e quindi uniformenete) convergente su totto il disco chiuso di raggio 2.
Ti ringrazio per le delucidazioni!
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