Analisi complessa

pipporossonero
Si consideri la funzione $ f(z)=e^(1/z) $. Dimostrare che l'immagine mediante f di un qualunque disco bucato di centro 0 è $ C-{0} $.
Poiché in 0 si ha una singolarità essenziale per dimostrarlo posso applicare il teorema di Picard ossia dire che poiché $ f $ è olomorfa nel campo complesso tranne in 0 dove presenta una singolarità essenziale allora preso un qualunque intorno di 0 allora la nostra $ f $ assume tutti i valore del campo complesso eccetto al più uno ?

Risposte
dissonance
Si, certo, chiaramente devi applicare quel teorema. E' facile però fallo per bene e cerca di esprimerti in modo chiaro.

pipporossonero
Grazie per la risposta dissonance, come ho scritto prima poiché la funzione è olomorfa nel campo complesso tranne in 0 in cui presenta singolarità essenziale allora applico il teorema di Picard affermando che esisterà un disco bucato di centro 0 tale che l'immagine di tale disco sarà tutto il campo dei numeri complessi eccetto al più un valore.Però come faccio a dire che quel valore che non assume è proprio il punto 0 ?

dissonance
Ti avevo detto di esprimerti bene... Sei sciatto nel linguaggio. Non è che "esisterà un disco bucato di centro 0 tale che...", sono tutti i dischi bucati di centro 0 ad avere quella proprietà. E' molto diverso, stai attento.

Per il resto,
come faccio a dire che quel valore è proprio lo 0?
usa un po' di fantasia: questo è l'unico punto in cui devi ragionare un epsilon. Un'esponenziale può mai essere zero?

pipporossonero
usa un po' di fantasia: questo è l'unico punto in cui devi ragionare un epsilon. Un'esponenziale può mai essere zero?

era proprio quello che avevo pensato :-)
Sei sciatto nel linguaggio. Non è che "esisterà un disco bucato di centro 0 tale che..."

scusa hai ragione mi sono espresso male :oops: , ma avevo capito che era una proprietà valida per tutti i dischi.
Grazie per il chiarimento dissonance.

gugo82
Apro e chiudo parentesi.

Non serve affatto big Picard per dimostrare quanto chiesto... Invero basta risolvere una semplice equazione.

dissonance
Giustissima osservazione, Gugo. Infatti, pensandoci a mente fresca, sono ora sicuro che questa era la maniera corretta di risolvere l'esercizio, nelle intenzioni di chi lo ha compilato. Così infatti si fornisce anche una motivazione per il teorema di Picard, verificandolo direttamente per il prototipo di funzione olomorfa dotata di una singolarità essenziale.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.