Analisi complessa
salve ragazzi volevo chiedervi se potevate passarmi qualche dispensa dove ci sono esercizi sui limiti delle successioni nel senso delle distribuzioni e esercizi sulle derivate distribuzionali perchè purtroppo non ho trovato esempi....
Un'altra cosa stavo facendo questo integrale col teorema dei residui :
[tex]\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{log x}{1+x^2}[/tex]
ma ho avuto un dubbio siccome logaritmo di x diventa log z nella variable complessa ma log z = ln|Z|+ i argz adesso come si fa a fare spuntare log se li c'è ln? E' la stessa cosa?
Un'altra cosa stavo facendo questo integrale col teorema dei residui :
[tex]\int_{-\infty }^{+\infty } \frac{log x}{1+x^2}[/tex]
ma ho avuto un dubbio siccome logaritmo di x diventa log z nella variable complessa ma log z = ln|Z|+ i argz adesso come si fa a fare spuntare log se li c'è ln? E' la stessa cosa?
Risposte
Come si definisce il $\log$ nell'integrale per $x\leq 0$?
[xdom="dissonance"]Fai una domanda alla volta, sennò non si capisce niente. E metti dei titoli chiari e meno generici. Grazie.[/xdom]
logz=ln|z|+i pigreco quando x è negativo invece per x>0 sarebbe log z= ln|z| io non ho capito se va bene o no...Mi spiego meglio alla fine nell'integrale ci sarebbe ln al posto di log...è giusto?Qualcuno potrebbe spiegarmi un po' questa cosa?
In questi esercizi si considera sempre il logaritmo naturale.
quindi significa che nell'intergrale in x in realtà doveva esserci ln x al posto di log x??Infatti non mi sembrava una cosa banale questa domanda anche perchè altrimenti non si poteva fare....
Non è così insolito trovare manuali che utilizzano la notazione logx per indicare il logaritmo naturale e la notazione Logx per indicare il logaritmo decimale.
Se posso dire la mia, c'è un errore di battitura.
L'integrale vuole essere un integrale reale (altrimenti non sarebbe stata usata la variabile d'integrazione \(x\)) quindi non può essere esteso a \(]-\infty,\infty[\), pena la perdita di senso della funzione integranda per \(x\leq 0\) e la non esistenza dell'integrale in questione.
Quindi sono portato a credere che l'integrale da calcolare abbia in realtà l'estremo inferiore d'integrazione uguale a \(0\), cioè che sia:
\[
\int_0^\infty \frac{\log x}{1+x^2}\ \text{d} x\; .
\]
P.S.: @speculor: La notazione dei logaritmi è quanto mai varia. Ad esempio, io uso correntemente \(\ln\) per il logaritmo naturale reale e \(\log\) per il logaritmo naturale complesso e \(\text{Log}\) la sua determinazione principale... Ma altri non fanno distinzioni.
L'integrale vuole essere un integrale reale (altrimenti non sarebbe stata usata la variabile d'integrazione \(x\)) quindi non può essere esteso a \(]-\infty,\infty[\), pena la perdita di senso della funzione integranda per \(x\leq 0\) e la non esistenza dell'integrale in questione.
Quindi sono portato a credere che l'integrale da calcolare abbia in realtà l'estremo inferiore d'integrazione uguale a \(0\), cioè che sia:
\[
\int_0^\infty \frac{\log x}{1+x^2}\ \text{d} x\; .
\]
P.S.: @speculor: La notazione dei logaritmi è quanto mai varia. Ad esempio, io uso correntemente \(\ln\) per il logaritmo naturale reale e \(\log\) per il logaritmo naturale complesso e \(\text{Log}\) la sua determinazione principale... Ma altri non fanno distinzioni.
"gugo82":
Se posso dire la mia, c'è un errore di battitura.
Ci mancherebbe. Mi ero concentrato solo sulle notazioni. Anche perchè, quando vedo integrali che potrebbero richiedere lo studio di funzioni polidrome, evito di rispondere. Pur essendo estremamente interessanti, i miei ricordi si sono affievoliti.
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