Analisi complessa
salve ho provato a svolgere questo esercizio:
∫_(+γ)〖1/z^n *e^(1/z^2 ) dz〗dove gamma= z appartenente ai complessi tale che |z|=R, R>0
io ho cercato di risolverlo applicando il teorema dei residui in questo modo:
∫_(+γ)〖1/z^n *e^(1/z^2 ) dz〗=2 pigreco i Res(1/z^n *e^(1/z^2);0)
e^(1/z^2 )= somme per k che va da zero a più infinito di( 1/k!)*1/z^2k e quindi 1/z^n *e^(1/z^2 )=somme per k che va da zero a più infinito di 1/k!*1/z^2k+n
adesso per trovare il residuo dovrei porre 2k+n=-1?
devo fare una distinzione tra n pari ed n dispari?vi sarei grato se mi aiutaste a concludere l'esercizio![/code]
∫_(+γ)〖1/z^n *e^(1/z^2 ) dz〗dove gamma= z appartenente ai complessi tale che |z|=R, R>0
io ho cercato di risolverlo applicando il teorema dei residui in questo modo:
∫_(+γ)〖1/z^n *e^(1/z^2 ) dz〗=2 pigreco i Res(1/z^n *e^(1/z^2);0)
e^(1/z^2 )= somme per k che va da zero a più infinito di( 1/k!)*1/z^2k e quindi 1/z^n *e^(1/z^2 )=somme per k che va da zero a più infinito di 1/k!*1/z^2k+n
adesso per trovare il residuo dovrei porre 2k+n=-1?
devo fare una distinzione tra n pari ed n dispari?vi sarei grato se mi aiutaste a concludere l'esercizio![/code]
Risposte
L'integrale è per caso questo:
[tex]$\int_{+\gamma} \frac{1}{z^n}\ e^\frac{1}{z^2} \ \text{d} z$[/tex]?
Invece [tex]$\gamma :=\{ z\in \mathbb{C} :\ |z|=R\}$[/tex] con [tex]$R>0$[/tex] (qui non ho dubbi).
Il metodo usato è ottimo, però ad un certo punto ti perdi un segno.
Infatti l'unica singolarità dell'integrando è in [tex]$z_0=0$[/tex], che è una singolarità essenziale isolata per l'integrando, e si ha:
[tex]$\frac{1}{z^n} e^\frac{1}{z^2} =\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} \ \frac{1}{z^{2k+n}}$[/tex]
quindi il residuo che cerchi lo ottieni determinando il valore di [tex]$k \in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$2k+n=1$[/tex] (e non [tex]$-1$[/tex]!!!).
Visto che devi risolvere l'equazione [tex]$2k+n=1$[/tex] in [tex]$\mathbb{N}$[/tex] è doveroso distinguere il caso [tex]$n \text{ pari}$[/tex] da quello [tex]$n \text{ dispari}$[/tex]: infatti in uno dei due casi potresti non avere soluzione.
Ah, ora che ci penso... Ma devi scegliere [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] oppure [tex]$n\in \mathbb{Z}$[/tex]?
Perchè nel primo caso non c'è nemmeno bisogno di fare troppi conti.
[tex]$\int_{+\gamma} \frac{1}{z^n}\ e^\frac{1}{z^2} \ \text{d} z$[/tex]?
Invece [tex]$\gamma :=\{ z\in \mathbb{C} :\ |z|=R\}$[/tex] con [tex]$R>0$[/tex] (qui non ho dubbi).
Il metodo usato è ottimo, però ad un certo punto ti perdi un segno.
Infatti l'unica singolarità dell'integrando è in [tex]$z_0=0$[/tex], che è una singolarità essenziale isolata per l'integrando, e si ha:
[tex]$\frac{1}{z^n} e^\frac{1}{z^2} =\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} \ \frac{1}{z^{2k+n}}$[/tex]
quindi il residuo che cerchi lo ottieni determinando il valore di [tex]$k \in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$2k+n=1$[/tex] (e non [tex]$-1$[/tex]!!!).
Visto che devi risolvere l'equazione [tex]$2k+n=1$[/tex] in [tex]$\mathbb{N}$[/tex] è doveroso distinguere il caso [tex]$n \text{ pari}$[/tex] da quello [tex]$n \text{ dispari}$[/tex]: infatti in uno dei due casi potresti non avere soluzione.
Ah, ora che ci penso... Ma devi scegliere [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] oppure [tex]$n\in \mathbb{Z}$[/tex]?
Perchè nel primo caso non c'è nemmeno bisogno di fare troppi conti.
Si l'integrale è quello...comunque n appartiene ai naturali. Quindi dovrei dire che k=1-n/2. per n pari pongo n=2p e n dispari n=2p-1?
cioè come devo ragionare per ottenere il risultato?
cioè come devo ragionare per ottenere il risultato?
per non ottenere risposte suppongo che la domanda era troppo stupida!!!sorry
[mod="gugo82"]Caro dpsngl, ti faccio notare che la community non è qui per risolvere i tuoi esercizi (cfr, regolamento, 1.2-1.4) e che inoltre "il forum è animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta" (cfr. regolamento, 3.4).
Detto ciò, mi auguro di non leggere più lamentele del genere.[/mod]
Per tornare IT, ti ho dato dei suggerimenti importanti, ma tu non ci hai riflettuto sopra come si deve...
Hai [tex]$k,n\in \mathbb{N}$[/tex] e vuoi che [tex]$2k+n=1$[/tex]: secondo te l'equazione [tex]$2k+n=1$[/tex] nell'incognita [tex]$k$[/tex] ha sempre soluzioni in [tex]$\mathbb{N}$[/tex]? Chiaramente no. Infatti, come hai detto tu, dobbiamo scegliere [tex]$n \text{ dispari}$[/tex]: ma ciò basta a garantire l'esistenza di soluzioni in [tex]$\mathbb{N}$[/tex]?
Ad esempio, cosa succede in [tex]$2k+n=1$[/tex] se [tex]$n=3$[/tex], se [tex]$n=21$[/tex], o se [tex]$n=10^{120}+1$[/tex]?
E qual è lo sviluppo di Laurent dell'integrando in questi casi?
Hai tutti i suggerimenti utili per arrivare al risultato; a te saperli sfruttare.
Detto ciò, mi auguro di non leggere più lamentele del genere.[/mod]
Per tornare IT, ti ho dato dei suggerimenti importanti, ma tu non ci hai riflettuto sopra come si deve...
Hai [tex]$k,n\in \mathbb{N}$[/tex] e vuoi che [tex]$2k+n=1$[/tex]: secondo te l'equazione [tex]$2k+n=1$[/tex] nell'incognita [tex]$k$[/tex] ha sempre soluzioni in [tex]$\mathbb{N}$[/tex]? Chiaramente no. Infatti, come hai detto tu, dobbiamo scegliere [tex]$n \text{ dispari}$[/tex]: ma ciò basta a garantire l'esistenza di soluzioni in [tex]$\mathbb{N}$[/tex]?
Ad esempio, cosa succede in [tex]$2k+n=1$[/tex] se [tex]$n=3$[/tex], se [tex]$n=21$[/tex], o se [tex]$n=10^{120}+1$[/tex]?
E qual è lo sviluppo di Laurent dell'integrando in questi casi?
Hai tutti i suggerimenti utili per arrivare al risultato; a te saperli sfruttare.
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