Analisi complessa

[Insubrico]

Sia f(z) analitica e non costante in un dominio chiuso e limitato B,provare che $1/f(z)$può al più ammettere un numero finito di singolarità
isolate in B.



Come si può dimostrare?


Ciao.

[gugo82]

Poichè $f$ è analitica in $\stackrel{\circ}{B}$, per il principio di identità delle funzioni analitiche essa ha tutti zeri d'ordine finito in $\stackrel{\circ}{B}$ e può verificarsi uno solo dei casi:

a) $f$ ha un numero finito di zeri in $\stackrel{\circ}{B}$;

b) $f$ ha un infinità numerabile di zeri che non hanno p.d.a. in $\stackrel{\circ}{B}$;

Nel primo caso hai terminato; se si verificasse b), avresti su $\partial B$ uno zero di $f$ d'ordine infinito: se dimostri che questo fatto implica $f=0$ in un aperto (anche piccolo) contenuto in $\stackrel{\circ}{B}$ hai finito, perchè in tal caso sarebbe $f=0$ in $B$ contro l'ipotesi.